热门试卷

（1）见解析；（2）.

本试题主要是考查了线面垂直的证明，以及二面角的求解的综合运用

（1）因为AA1= BC=2., 又AA1面ABC，关键是求证AC面B C1，从而得到线面垂直的证明。,

（2）利用三垂线定理，先作出二面角，然后借助于三角形的边角的关系得到结论。

（1）AA1= BC=2., 又AA1面ABC，,CC1ABC,, CC1 AC ,而BCAC，CC1BC=CAC面B C1,.. --------（7分）

（2）过点C作于点E,连接,CC1面ABC,, CC1BD, 又，CC1EC=C,,.故为二面角C1—BD—C的平面角。BC=2，CC1=3,,.在直角三角形中，CC1=3,. .-------------（14分）

（Ⅰ）证明：设是平面内的任一直线，直线所在的方向向量分别为，

∵

∴向量不共线，由平面向量的基本定理知，对于平面内向量，存在唯一的有序实数对，满足：

∵，即有

∴

∴即

由直线的任意性知， 命题得证。    …………………………………6分

（Ⅱ）设经过直线的平面分别与交于，与交于，则

同理可证

注意到是相交直线，因此 

略

（Ⅲ）1/3

（Ⅰ）证明：平面，．

∴平面，则．     ……(2分)

又平面，则．

∴平面．          ………………(4分)

（Ⅱ）证明：依题意可知：是中点．

平面，则，而．

∴是中点．  …………………………………………(6分)

在中，，∴平面．  …………(8分)

（Ⅲ）解法一：平面，∴，而平面．

∴平面，∴平面．……………(９分)

是中点，∴是中点．∴且．

平面，∴．    ……………(10分)

∴中，．∴．(11分)

∴．  ………………………(12分)

解法二：．…(12分)

(1)详见解析；(2) ； (3)

试题分析：（1）平面图中因为A1D∥A2A3，A1A2⊥A2A3，所以，立体图中不变，即，可证得,就可证出AB⊥CD。（2）由（1）知AB⊥平面ACD.，所以AD即为BD在面ACD内的射影，所以∠BDA即为所求。在直角三角形中利用三角函数可求其正切值。（3）由（1）知，所以可以选以面ADC为底面，以AB为高求其体积。

试题解析：(1)证明：∵在直角梯形A1A2A3D中，A1B⊥A1D，A2B⊥A2C，

∴在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，AB⊥AC.

∵AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.

∵CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD.

(2)解：由(1)知AB⊥平面ACD，

∴AD为BD在平面ACD内的射影，

∠BDA是直线BD和平面ACD所成的角．

依题意，在直角梯形A1A2A3D中，

A1D＝A3D＝10，A1B＝A2B＝4，

∴在三棱锥ABCD中，AD＝10，AB＝4.

在Rt△ABD中，tan ∠BDA＝＝＝.

∴直线BD和平面ACD所成的角的正切值为.

（3）由(2)得:

见解析。

(1)通过证明AC⊥平面BCC1B1即可.

(2)证明DE//AC1即可.

证明：（1）∴CC1⊥底面ABC

∴CC1⊥AC……………………………………1分

∴AC=3  BC=4  AB=5

∴AC2+BC2=AB2

∴AC⊥BC……………………………………2分

∴AC⊥平面BCC1B1…………………………3分

∴AC⊥BC1……………………………………4分

（2）设BC1∩B1C=E连接DE

∵BCC1B1是矩形 ∴E是BC1的中点…………5分

又D是AB的中点，在△ABC1中，DE∥AC1……6分

又AC1平面CDB1，  DE平面CDB1

∴AC1∥平面CDB1……………………………8分

（1）；

（2）见解析。

本题考查线段的长和两异面直线夹角余弦值的求法，解题时要恰当地建立空间直角坐标系，合理地运用 向量的夹角公式进行求解．以及向量的数量积证明垂直。

（1）以C为原点建立空间直角坐标系，B（0，a，0），N（a，0，a），由此能求出|BN |

（2）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），BA1 =（a，-a，2a）， CB1=（0，a，2a），再由cos＜ BA1 ， CB1＞，能求出BA1，CB1夹角的余弦值．

（3）同理利用垂直来证明数量积为零即可。

（1）；…..5分

（2）；…..6分

（3），……5分

．

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）利用与全等得到和，再利用三线合一得到，，利用直线与平面垂直的判定定理得到平面，再利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（2）取的中点，连接，过点作的垂线，垂足为点，

于是得到为直线与平面所成的角，利用中位线得到，于是得到直线与平面所成的角等于，最后在计算即可.

（1）由题意可知：与全等，

，，为的中点，

，，

又，平面，平面，

平面平面；

（2）由题意可知：为的中点，取的中点为，连接，

过作的垂线，垂足为，连接，

由（1）可知面面，面，

是在平面上的射影，为与平面所成的角，

，，

，，

，

，与平面所成的角和与平面所成的角相等，

与平面所成的角的正弦值为.

（1）详见解析；（2）直线与平面所成角的余弦值为.

试题分析：（1）取的中点，连接、，证明平面，进而得到；（2）法一是利用四边形为平行四边形得到，于是得到点和点到平面的距离相等，证明平面，由于点为的中点，由中位线原理得到点到平面的距离为线段长度的一半，于是计算出点到平面的距离，根据直线与平面所成角的原理计算出直线与平面所成角的正弦值，进一步求出该角的余弦值；法二是分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值，再根据同角三角函数的平方关系求出这个角的余弦值.

试题解析：（1）如下图所示，取的中点，连接、、，

、分别为、的中点，则，

由于平面，平面，，

又，，，，所以，平面，

平面，，

，且点为的中点，所以，

，平面，

平面，；

（2）法一：由（1）知，故四边形为平行四边形，，

故点到平面的距离等于点到平面的距离，如下图所示，连接、，

取的中点，连接，

由于平面，且平面，，

，

同理，，

因为点为的中点，，

由于，故为等边三角形，

为的中点，，，

由于四边形为平行四边形，所以，，，

，点为的中点，，

因为，平面，

、分别为、的中点，，平面，

且，故点到平面的距离为，

设直线与平面所成的角为，则，

，故直线与平面所成角的余弦值为；

法二：分别以、、为、、轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，，

设平面的法向量为，则，

设，则，，

设直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的余弦值为；

（1）证明过程详见解析；（2）所成的角为．

试题分析：本题主要考查空间线、面位置关系，线面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.第一问，先利用正方形得对角线互相垂直，再利用线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直平面；第二问，先由已知条件判断是正三角形，由第一问的结论可知，是与平面所成的角，在直角中，得出，所以，即与平面所成的角为．

试题解析：(Ⅰ) 由题意知四边形是正方形，故．

由平面，得．

又，所以平面，故．

从而得平面．        7分

(Ⅱ)设与相交于点，则点是线段的中点．

连接，由题意知是正三角形．

由，是的中线知：与的交点为重心，连接．

由(Ⅰ)知平面，故是在平面上的射影，于是是与平面所成的角．

在直角中，， ，

所以．

故，即与平面所成的角为．    15分