热门试卷

证明：见解析；（2）证明：见解析。

(I)证明B1D1//BD即可.

（2）可以通过证明：即可.

证明：由直四棱柱,得,

所以是平行四边形,

所以      …………………（3分）

而,,

所以面 ------------------6分

（2）求证：；

证明：因为,

则     ----------------9分）

又因为,且，

故

而，所以         ……………………（12分）

（Ⅰ）见解析；  （Ⅱ）。

本试题抓哟是考查了面面垂直和二面角求解的综合运用。

（1）对于线面垂直的证明，一般利用线线垂直，通过判定定理得到线面垂直的证明，关键是

（2）建立合理的空间直角坐标系，然后表示出平面的法向量，以及借助与向量与向量的夹角表示出二面角的平面角的求解的运算。

（Ⅰ）∵侧面是菱形且 ∴为正三角形

又∵点为的中点 ∴ 

∵∥ ∴

由已知 ∴平面                         （4分）

（Ⅱ）（法一）连接，作于，连接

由（Ⅰ）知面，∴

又 ∴面 ∴

∴为所求二面角的平面角      （8分）

设菱形边长为2，则

在中，由知：

在中，   ∴

即二面角的余弦值为                    （12分）

（法二）如图建立空间直角坐标系

设菱形边长为2

得，

，

则，

，

设面的法向量，由,得

，令，得                        （8分）

设面的法向量， 由，得

,令，得                 （10分）

得.

又二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为     （12分）

解析：（1）证明：取中点，连接,则有平行且相等

所以四边形是平行四边形，……………..2分

……………..3分

(2)设中点为，连接 

则即为所求二面角的平面角

又易得…………………………………..5分

由余弦定理得……………………………..7分

另法：以轴，在面内以过点且垂直于的射线为轴建系如图，设，则

…………………………..5分

设是平面的一个法向量，则

令……………………..7分

设二面角的大小为，又平面的法向量

……………………..8分

（3）

…………………..10分

令

.

…………………………………………..12分

略

证明略

 设=a，=b，=c，

∵四边形B1BCC1为平行四边形，

∴=c-a，

又O是B1D1的中点，

∴=（a+b），

∴=-（a+b）

=-=b-（a+b）=（b-a）.

∵D1D   C1C，所以=c，

∴=+=（b-a）+c.

若存在实数x、y，使

=x+y（x，y∈R）成立，则

c-a=x[（b-a）+c]+y[-（a+b）]

=-（x+y）a+（x-y）b+xc.

∵a、b、c不共线，

∴得

∴=+，∴、、是共面向量，

∵不在、所确定的平面ODC1内，

∴B1C∥平面ODC1.

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）要证DC平面ABC，则需证DC垂直平面ABC内的两条相交直线，需证AB⊥CD，CD⊥BC，可得结论；（2）求直线与面所成的角，需过直线上一点（异于与面的交点）向面作垂线，此题根据已知条件在面ABC内过点B向AC作垂线BE，再证BE与面ADC垂直，即可找出直线BF与面ACD所成的角，最后在角所在的三角形中求解.

试题解析：（1）证明：在图甲中∵且 ∴ ,，即

在图乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD，∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．

又，∴DC⊥BC,且 ∴DC平面ABC．          7分

（2）解：作BE⊥AC，垂足为E，

由（1）知平面ABC⊥平面ACD，又平面ABC平面ACD=AC，∴BF⊥平面ADC，

∴即为直线与平面ACD所成角

设得AB=，AC=

∴，，  ∴，

∴直线与平面ACD所成角的余弦值为.  ..14分 

解：（1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，

因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以

QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ.

.…      …………………6分

（2）

又因为底面ABCD是、边长为的菱形，且M为AD中点，

所以.又所以.

………………10分

（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离.

过点D作于H，由（2）平面PMB平面PAD，所以.

故DH是点D到平面PMB的距离.

所以点A到平面PMB的距离为.………14分

略

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在，且．

试题分析：（Ⅰ）这是一个折叠问题，做这一类题，需比较折叠前的图形与折叠后的图形，找那些量发生变化，那些量没发生变化，本题求证：平面，证明线面平行，可先证线线平行，也可先证面面平行，注意到，，，可证面面平行，即证平面//平面即可；（Ⅱ）当二面角为直二面角时，是否存在点，使得直线与平面所成的角为，此属探索性命题，解此类题一般都先假设存在，若求出线段长，就存在，否则就不存在，此题因为二面角为直二面角，则平面，故与平面所成角为，求出的长，从而得，故存在点，且．

试题解析：（Ⅰ），又为的中点

，又  2分

在空间几何体中，，则平面，，则平面，

平面//平面，平面  6分

（Ⅱ）∵二面角为直二面角，平面平面

，平面，  8分

在平面内的射影为，与平面所成角为，  10分

由于，，    12分

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）二面角的正切值为。

(I)证明即可.

（II）过A作于M，连接BM，则易证就是二面角的平面角，然后解求角即可.

证明（Ⅰ）

∵三棱柱为直三棱柱

∴…………………………………1

在中

由正弦定理得……………………….3

∴……………………………………4

即，又

∴…………………………………….5

又因为

∴………………………………………….6

（Ⅱ）作交于，连，……………………7

由三垂线定理可得……………………………………..9

所以∠ADB为二面角的平面角…………………….10

在中，，………………………..11

在中， ，

∴二面角的正切值为……………………………13