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(1)见解析 (2) 见解析

本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．

（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；

（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM∥平面BEC；

证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB= AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论．

(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，…………2分

又已知，所以平面OCE. …………４分

所以，即OE是BD的垂直平分线，

所以.…………６分

(II)取AB中点N，连接，

∵M是AE的中点，∴∥，…………８分

∵△是等边三角形，∴.

由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，

所以ND∥BC，…………1０分

所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）连接，设与相交于点，连接，根据为的中位线便可得出结论；（Ⅱ）由条件证明，，再 利用等体积法求得，即.

试题解析：

（Ⅰ）证明：连接，设与相交于点，连接，

∵ 四边形是平行四边形，∴点为的中点．

∵为的中点， ∴为的中位线，

∴．                    2分

∵，

∴//．             4分

（Ⅱ）解：∵平面，，

则平面，故，

又, 且，

∴．          8分

取的中点，连接，则，

∴，且.  9分

设三棱锥的高为，由，

有，得.     12分

证明：见解析。

(I)证明:因为即可.

(II)设BD与AC的交点为H,连接HF,则HF//AE,从而问题得证.

证明：

（1）AD⊥平面ABE，AE平面ABE，∴AD⊥AE，

在矩形ABCD中，有AD∥BC，∴BC⊥AE.

∵BF⊥平面ACE，AE平面ABE，∴BF⊥AE，

又∵BFBC=B，BF，BC平面BCE，

∴AE⊥平面BCE.（7分）

（2）设ACBD=H，连接HF，则H为AC的中点.

∵BF⊥平面ACE，CE平面ABE，∴BF⊥CE，

又因为AE=EB=BC，所以F为CE上的中点.

在△AEC中，FH为△AEC的中位线，则FH∥AE

又∵AE平面BFE，而FH平面BFE

∴AE∥平面BFD.（14分）

（1）见解析；（2）

(1)底面⊥=⊥.

⊥平面⊥,进而确定⊥平面.

(2)解第（2）的关键是判断出为等边三角形，为等腰直角三角形,然后取的中点，连接,确定为所求的二面角的平面角.

（1）证明：由⊥底面，得⊥，由=知为等腰直角三角形，又点是棱的中点，故⊥由题意知⊥，又是在面内的射影，由三垂线定理得⊥，从而⊥平面，因⊥，⊥，所以⊥平面.

（2）解：由（1）知⊥平面，又//，得⊥平面，故⊥.

在中，==，

从而在，所以为等边三角形，

取的中点，连接，则

因==1，且⊥，则为等腰直角三角形，连接，则⊥，

所以为所求的二面角的平面角.

连接，在中，

所以故二面角的平面角的余弦值为

解二：（1）如图，以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系.

设，则   .

于是,

则，所以⊥平面.

（2）解：设平面的法向量为，由（1）知，⊥平面，

故可取

设平面的法向量，则，

由 =1，得从而

故所以可取

从而所以二面角的平面角的余弦值为

解：（Ⅰ）取的中点E，连结，

则平面∥平面……………………4分

∵D为BC的中点，E为的中点，∴

又∵BC∥，∴四边形为平行四边形，

∴∥BE，……………………………………7分

连结DE，则DE，

∴DE,

∴四边形是平行四边形，

∴AD∥……………………………………………………………10分

又∵ 平面，，∴平面∥平面。………12分

略

证明略

  方法一 分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连接MN.

∵BB1⊥平面ABCD，

∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，

∴EM∥BB1，FN∥BB1，

∴EM∥FN.

又∵B1E=C1F，∴EM=FN，

故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.

又MN平面ABCD，EF平面ABCD，

所以EF∥平面ABCD.

方法二 过E作EG∥AB交BB1于G，

连接GF，则，

∵B1E=C1F，B1A=C1B，

∴，∴FG∥B1C1∥BC，

又EG∩FG=G，AB∩BC=B，

∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，

∴EF∥平面ABCD.

（1）见解析（2）（3）

试题分析：（1）由题意及题中P为AB1中点和D为AC中点，中点这样信息，得到线线PD∥B1C平行，在利用PD∥平面A1BD线面平行，利用线面平行的判定定理得到线面B1C∥平面A1BD平行；

（2）有正三棱柱及二面角平面角的定义，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；

（3）利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角，然后再三角形中解出即可．

试题解析：解法一：

（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点     1分

D为AC中点，PD//，                   3分

又PD平面D，//平面D         4分

（2）正三棱住， 底面ABC，又BDAC，BD，就是二面角的平面角     6分

=，AD=AC=1，tan =

=, 即二面角的大小是        8分

（3）由（2）作AM，M为垂足                 9分

BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC

BD平面，AM平面，BDAM

又BD = D，AM平面，                10分

连接MP，则就是直线与平面D所成的角      11分

=，AD=1，在RtD中，=，

，，

直线与平面D所成的角的正弦值为      13分

解法二：

（1）同解法一        4分

（2）如图建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）=（1，，），=（1，0，）    5分

设平面的法向量为n=（x，y，z）

则n

n，则有，得n=（，0，1） 6分

由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量.

设n与所成角为，则，    7分

又，，即二面角的大小是      8分

（3）由已知得=（1，，）, n=（，0，1）         9分

则             12分

直线与平面D所成的角的正弦值为             13分

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

试题分析：（1）连接与相交于，,即可证明平面;

（2）根据线面垂直的判定定理即可证明平面

试题解析：（1）证明：如图，连接与相交于

则为的中点

连结，则为的中点

所以，

又平面

所以，平面

（2）因为,所以四边形为正方形，所有

又因为平面

所以

所以平面

所以

又在直棱柱中

所以平面