热门试卷

证明：见解析；

（Ⅱ）．

本试题主要是考查了线面垂直的判定和二面角平面角的求解的综合运用。

（1）要证明线面垂直，要通过判定定理线线垂直得到线面垂直，关键是证明，。

（2）建立空间直角坐标系，然后表示出平面的法向量与法向量的夹角，进而求解二面角的平面角的大小的求解。

证明：（Ⅰ）∵菱形ABCD中∠ABC=60°，

∴ABC为等边三角形

∴--------1分

又∵，

∴有，

∴，-------3分

∴，，而

∴平面（4分）

（Ⅱ）取BC中点E，连结AE，则AE⊥BC．以点A为坐标原点，AE为x轴正向，AD为y轴正向，AP为z轴正向建立空间直角坐标系，则

（5分）

在PAD内，AD="1," AP=2，∴PD=, AN=，点

（6分）

设平面AMC的一个法向量为，则

，

令y="1," 则，得平面AMC的一个法向量；（8分）

设平面ANC的法向量为，则，

令y="1," 得平面ANC的一个法向量（10分）

设二面角M-AC-N的平面角为，由图像知其必为锐角，从而有（12分）

．

（Ⅰ）见解析； （Ⅱ） 

本试题主要是考查了立体几何中的线线垂直的证明，以及二面角的求解的综合运用。

（1）取AD中点E，连结PE,QE      ……...2分

均为正三角形得到线线垂直，然后利用线面垂直得到线线垂直的性质定理和判定定理的综合运用。

（2）以正方形ABCD的中心O为原点，OF(F为AB的中点)为x轴，OQ为z轴，

建立空间坐标系，设出点的坐标，然后借助于向量的夹角公式表示二面角的平面角的大小。

解：（Ⅰ）取AD中点E，连结PE,QE      ……...2分

均为正三角形

ADPE, ADQE

 AD平面PEQ

 ADPQ   又AD//BC

 PQBC                            。。。。。。。。。6分

（Ⅱ）以正方形ABCD的中心O为原点，OF(F为AB的中点)为x轴，OQ为z轴，

建立空间坐标系， 则P(0，-2，),  Q(0,0,),  B(1,1,0),  C(-1,1,0), 

A(1，-1,0),  D(-1，-1,0)               。。。。。。。。。。8分

平面PAD法向量=（0，，1）    。。。。。。。。。。10分

=(0,2,0)， 

平面ADM的法向量 。。。。。。。。。12分

                         。。。。。。。。。。。14分

解：(1)由正视图可得：平面VAB⊥平面ABCD，连接BD交AC于O 点，连EO，由已知可得BO=OD，VE=EB

∴ VD∥EO              ………………2分

又VD平面EAC，EO平面EAC

∴ VD∥平面EAC        ………………5分

(2)设AB的中点为P，则由题意可知VP⊥平面ABCD，

建立如图所示坐标系

设=(x,y,z)是平面VBD法向量，

=(-2,2,0)    

由，

∴

∴          …………10分

∴二面角A—VB—D的余弦值 …12分

略

垂直

证明见答案

设为的中点，连结，．

，．

同理．

又．

根据直线与平面垂直的判定定理，直线平面．

．

解法一（Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影为.

由可得.

所以.    (Ⅱ)过作于,连结.

由底面可得.故为二面角的平面角.

在中,,

在Rt中,,

故所求二面角的余弦值大小为. 

(Ⅲ)存在点使∥平面,且为中点,下面给出证明.设与交于点则为中点.

在中, 连结,分别为的中点,故为的中位线,

∥,又平面,平面,   ∥平面.

故存在点为中点,使∥平面.      

解法二 直三棱柱,底面三边长,

两两垂直.

如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则

.

(Ⅰ),

,故.             

(Ⅱ)平面的一个法向量为,

设平面的一个法向量为,,,

由得

令,则.则.故＜＞=.

所求二面角的余弦值大小为.

（3）同上

略

：略

：（Ⅰ）证明：如图，取PD的中点E，连EO，EM．

∵EO∥PB，EO＝PB，MA∥PB，MA＝PB，∴EO∥MA，且EO＝MA．

∴四边形MAOE是平行四边形．∴ME∥AC．

又∵AC(/平面PMD，MEÌ平面PMD， ∴AC∥平面PMD．                …………3分

（Ⅱ）如图，PB^平面ABCD，CDÌ平面ABCD，∴CD^PB．

又∵CD^BC，∴CD^平面PBC． ∵CDÌ平面PCD，∴平面PBC^平面PCD．

过B作BF^PC于F，则BF^平面PDC，连DF，则DF为BD在平面PCD上的射影．

∴ÐBDF是直线BD与平面PDC所成的角．

不妨设AB＝2，则在Rt△PBC中，PB＝BC＝2，BF^PC，∴BF＝PC＝．

∵BD＝2．∴在Rt△BFD中，BF＝BD，∴ÐBDF＝．

∴直线BD与平面PCD所成的角是．                               ………………5分

（Ⅲ）解：如图，分别延长PM，BA，设PM∩BA＝G，连DG，

则平面PMD∩平面ABCD＝DG．

不妨设AB＝2，∵MA∥PB，PB＝2MA，∴GA＝AB＝2．

过A作AN^DG于N，连MN． ∵PB^平面ABCD，

∴MA^平面ABCD，∴MN^DG．∴ÐMNA是平面PMD与平面ABCD

所成的二面角的平面角（锐角）．在Rt△MAN中，

tanÐMNA＝＝．

∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角的正切值是