热门试卷

解：（Ⅰ）设AC与BD交于O，如图所示建立空间直角坐标系，

设AB=2，

则

设

则

∴

∴2-2h=0，∴h=1，即，

∴，

设平面EAC的法向量为，

则由，得，

令z=-1，

∴，

∴，

∴。

（Ⅱ）设

得

∴，

，

∴，

∴，

∴，

∴存在点P使A1P∥面EAC，此时D1P：PE=2：3。

证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD1，分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

由题意知D(0 ，0 ，0) ，

设平面B1EF的一个法向量n=(x，y，z).

则

解得x=y，z=，

令y=1得n=

平面BDD1B1的一个法向量

而

即,

∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．

解：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向

建立空间直角坐标系如图，则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，

，，

(Ⅰ)，

因为，

所以CM⊥SN；

(Ⅱ)，

设=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，

则，

令x=2，得=（2，1，-2），

因为，

所以SN与平面CMN所成角为45°．

以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图，

则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），

B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）．…（3分）

（Ⅰ）证明：设AC∩BD=E，连接D1、E，

则有E(1，1，0)，==(1，1，-2)，

所以B1B∥D1E，

∵BB⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，

∴B1B∥平面D1AC；…（6分）

（ II）=(1，1，0)，=(2，0，-2)，

设=(x，y，z)为平面AB1D1的法向量，

•=x+y=0，•=2x-2z=0．

于是令x=1，则y=-1，z=1．

则=(1，-1，1)…（8分）

同理可以求得平面D1AC的一个法向量=(1，1，1)，…（10分）

cos＜，＞==．

∴二面角B1-AD1-C的余弦值为．…（12分）

解：（Ⅰ） PA = PD = 1 ,PD = 2 ,

PA2 + AD2 = PD2, 即：PA AD      

又PA CD , AD , CD 相交于点D,

PA 平面ABCD                

（Ⅱ）过E作EG//PA 交AD于G，从而EG 平面ABCD，

且AG = 2GD , EG = PA = ,                                

连接BD交AC于O, 过G作GH//OD ，交AC于H，连接EH．

GH  AC ,

EH AC ,

EHG为二面角D-AC-E的平面角．                        

tanEHG = = ．

二面角D-AC-E的平面角的余弦值为

（Ⅲ）以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 ,）,

 = （1,1,0），= （0 ,）                                                

设平面AEC的法向量= （x, y,z） ,

则 ，即：，

令y = 1 , 则 = （- 1,1, - 2 ）                                   

假设侧棱PC上存在一点F, 且， （0≤λ≤1）,

使得：BF//平面AEC，则＝ 0．

又因为：＝ （0 ，1，0）+ （-λ，-λ，λ）= （-λ，1-λ，λ）,

∴

∴

所以存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC．            

解：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C1(1，1，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1).

=(1，0，1)，=(0，1，1)，=（-1，1，0），=(0，1，1)，=(1，0，0)，

设平面AB1D1的法向量为n=（x，y，z），

则

令z=-1，则n=（1，1，-1），

显然

∴n也是平面BDC1的法向量，

∴平面AB1D1∥平面BDC1，

∴其距离为

(1)证明：如图，建立空间直角坐标系Bxyz，易得，B(0，0，0)，A(a，0，0)，C1(0，a，a)，

故=(a，0，O)，=(0，a，a)．

设n=(x，y，z)是平面ABC1D1的法向量，

由

令z=1，得n=（0，-1，1）．

⊥n，

由于EF平面ABC1D1，故EF平面ABC1D1.

(2)解：由(1)得

·

∴d=