热门试卷

证明：P、Q分别是△ABC和△BCD的重心，

，

即PQAD，

又PQ平面ACD，AD平面ACD，

PQ平面ACD.

证明：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 

令PA=PB=PC=3,    

则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0).

=(3，0，0)，

=(1，0，0)，

故，

∴PA∥FG.

而PA⊥平面PBC,

∴FG⊥平面PBC.

又FG平面EFG，

∴平面GEF⊥平面PBC.

证明：如图，以D 为原点，DA 、DC 、DD1 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1 ，

则可求得、D(0，0，0)、A．(1，0，1)、B(1，1，0)，

于是=(1，0，1)，=(1，1，0)，

设平面A1BD的法向量n=(x，y，z)，

则且，得

取x=1，得y=-1，z=-1．

∴n=（1，-1，-1）．

又··（1，-1，-1）=0，

MN平面A1BD．

证明：设

则

而=a+b．

，

故，即EG∥AC．

又

而

，

即EF∥B1C.    

又∵FG∩EF=F,AC∩B1C=C,    

∴平面EFG∥平面AB1C．

解：（Ⅰ）以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别

为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，

做BD的中点F并连接CF，AF，

由题意可得CF⊥BD且，

又∵平面BDA⊥平面BDC，

∴CF⊥平面BDA，

所以C的坐标为，

∴，

∴，

故DE⊥AC。

（Ⅱ）设平面BCE的法向量为，

则，

∴，

令x=1得，，

又，

设DE与平面BCE所成角为θ，

则；

（Ⅲ）假设存在点M使得CM∥面ADE，

则，，

∴，得，

又因为AE⊥平面ABD，AB⊥BD，

所以AB⊥平面ADE，

因为CM∥面ADE，

则，

得，

∴，

故点M为BE的中点时，CM∥面ADE。

解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）， 设AD=a，则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、G（0，a，0），、P（0，0，a）．

（1）证明：·（0，a，0）=0，

∴EF⊥DC

（2）设G（x，0，z），则G∈平面PAD．，

由题要使GF⊥平面PCB，

只需

∴

=·（0，-a，a）=

∴z=0．

∴点G的坐标为，即点G为AD的中点．

分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，

则A（0，0，0），E（2a，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，a），D（0，0，2a）

所以M(a，a，)．

（Ⅰ）：=(a，a，-) ，=(-2a，2a，0)

•=a•(-2a)+a•2a+0=0．

∴⊥，即DM⊥EB．

（Ⅱ）设平面MBD的法向量为=(x，y，z)，=(0，2a，-2a)，

由⊥，⊥，得

⇒

取z=2得平面MBD的一非零法向量为=(1，2，2)，

又平面BDA的一个法向量=(1，0，0)．

∴cos＜，＞ ==，即cosβ=