热门试卷

解：依条件可知AB，AC，AA1两两垂直，如图，

以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，

根据条件容易求出如下各点坐标： A(0，0，0)，B(0，2，0)，

C(-1，0，0)，A1(0，0，2)，，

，

(Ⅰ)证明：∵是平面ACC1A1的一个法向量，

且，所以，

又∵平面ACC1A1，

∴MN∥平面ACC1A1。

(Ⅱ)设n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，

因为，

由，得，

解得平面AMN的一个法向量为n=（4，2，-1），

由已知，平面ABC的一个法向量为m=（0，0，1），

，

∴二面角M-AN-B的余弦值是。

（1）证明：，ED⊥面ABCD，

建立坐标系，

则，

，，

又面BFG，面BFG，

∴AC∥平面BGF。

（2）解：设点M的坐标为（x，0，0），

则，

设平面BGF的法向量为，则可求得=，

GM与平面BFG所成的角为θ，

则，

解得x=1，所以M是AD的中点。

解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、

B1（2，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2 ）、F（0，2，1），

（1）取AD1中点G，则G（1，0，1），

=（1，-2，1），

又=（-1，2，-1），

由=，

∴与共线，

从而EF∥CG，

∵CG平面ACD1，EF平面ACD1，

∴EF∥平面ACD1。

（2）设面EFB的一个法向量，

由得，

故可取，

取底面ABCD的一个法向量，

由，

所成的锐二面角余弦值的大小为。

解：（1）由题意，得，

如图，以A为坐标原点，垂直于AC、AC、AE所在的直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

由已知条件得

，

∴，

由，

得，

∴EM⊥BF。

（2）由（1）知，

设平面BEF的法向量为，

由，

令，

∴，

由已知EA⊥平面ABC，

所以取面ABC的法向量为，

设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，

则，

∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为。

解：由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC，分别以OA、OC、OP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图，

则。

（1） 由M为PB中点，，

∴，

∴

∴PA⊥DM，PA⊥DC，

∴PA⊥平面DMC；

（2），设平面BMC的法向量，

则由可得x+z=0，由可得，

取x=-1则，

所以可取，

由（1）知平面CDM的法向量可取，

∴，

又易知二面角D-MC-B为钝二面角，

∴二面角D-MC-B的余弦值为。

解：如图，建立空间直角坐标系A-xyz，

设AB=2a，BC=2b，PA=2c，

则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），

D（0，2b，0），P（0，0，2c），

∵E为AB的中点，F为PC的中点，

∴E（a，0，0），F（a，b，c），

（Ⅰ）∵=（0，b，c），=（0，0，2c），

=（0，2b，0），

∴，

∴与共面，

又∵平面PAD，

∴EF∥平面PAD。

（Ⅱ）∵=（-2a，0，0），

∴=（-2a，0，0）·（0，b，c）=0，

∴EF⊥CD；

（Ⅲ）若∠PDA=45°，则有2b=2c，即b=c，

∴=（0，b，b），=（0，0，2b），

∴，

∴=45°，

∵AP⊥平面ABCD，

∴是平面ABCD的法向量，

∴EF与平面ABCD所成的角为

90°-=45°。

解：(1)连接AC、A′B，

∵四棱柱ABCD-A′B′C′D′为直四棱柱，且四边形ABCD为正方形，

∴BD⊥AC，BD⊥AA′，

又AC∩AA′=A，

∴BD⊥面ACEA′，

∵A′E面ACEA′，

∴BD⊥A′E，

，

∴A′B2=BE2+A′E2，

∴A′E⊥BE，

又∵BD∩BE=B，

∴A′E⊥面BDE。

(2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A′(1，0，2)，E(0，1，1)，，

由(1)知：为面BDE的法向量，，

∴，

∴，

又∵FG面BDE，

∴FG∥面BDE。

(3)设平面DEG的法向量为n=(x，y，z)，

∵，，

则=0×x+1×y+1×z=0，即y+z=0，

，即，

令x=1，解得：y=-2，z=2，

∴n=(1，-2，2)，

∴，

∴二面角G-DE-B的余弦值为。

解：如图，分别以DA、DC、DD1所在的直线为z轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，

由已知得D(O，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B，(2，2，2)、E(1，0，2)、F(0，2，1)．

(1)证明：易知平面ACD1的一个法向量=(2，2，2)．

=（-1，2，-1），

= -2+4-2=0．

，

而EF平面ACD1，

∴EF∥平面ACD1．

(2)∵=(0，2，0)，

∴异面直线EF与AB所成的角的余弦值为

(3)设点P(2，2，f)(0

则=（-2，2，0），=(0，2，t)，

取易知平面ABC的一个法向量=(0，0，2)，  

依题意知=30°或=150°．

即，

解得，

∴在棱B，上存在一点P，当BP的长为时，二面角P-AC-B的大小为30°．

解：（1）如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标

依题意，得

∴

∵

所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为。

（2）假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面，

∵

可设

又

∴

由平面，得

即

故，

此时

经检验，当时，平面

故线段上存在点S，使得平面，

此时。