热门试卷

解：（Ⅰ）如图，取AD的中点E，连结PE，

则PE⊥AD，

作PO⊥平面ABCD，垂足为O，

连结OE，根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，

由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，

所以PO=3，

四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=。

（Ⅱ）如图，以O为原点建立空间直角坐标系，

通过计算可得 P（0，0，3），A（2，-3，0），

B（2，5，0），D（-2，-3，0），

所以，

因为，

所以PA⊥BD。

(Ⅰ)证明：因为PG⊥平面ABC，

所以PG⊥BC，

又BG⊥CG，

所以BG⊥面PCG，

所以PC⊥BG。

(Ⅱ)解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如图所示，

，

∴。

(Ⅲ)设，

则点，

又，

∴，，

由DF⊥DC，得，

∴，解得：，

∴。

解：如图所示，取ED中点F，连结FM，

由EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC知，AE//BD，

又AE≠BD，则四边形AEDB为平行四边形，

∴FM//DB//AE，

∴FM⊥平面ABC，

又AC=BC，M为AB的中点，

∴CM⊥AB，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设AE=，则BD=AC=BC=2， 

（1），∴MC⊥ME。

（2）设平面CDE的法向量，

由，得，

，

∴。

解：设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连接A1O，

在中，，

∴，

∴，∴，

由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，A1O⊥平面ABCD，

以OB，OC，OA，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则，

，

 (Ⅰ)由于，

，

∴。

(Ⅱ)由于OB⊥平面AA1C1C，

∴平面AA1C1C的一个法向量为，

设平面AA1D，则，

设，则，

取，

∴，

所以二面角D-AA1-C的平面角的余弦值为。

(Ⅲ)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，

设，则，

从而有，

设平面DA1C1，则，

又，

设，，取，

因为BP∥平面DA1C1，则，

即，得λ=-1，

即点P在C1C的延长线上，且C1C=CP。

解：(1)如图，在△ABC中，E、F分别是AC、BC的中点，

∴EF∥AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF，

∴AB∥平面DEF。

(2)以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，

建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，2，0），

，

平面CDF的法向量为，

设平面EDF的法向量为，

则，

取，

，

所以平面BDC与平面DEF夹角的余弦值为。

(3)在平面坐标系xDy中，

直线BC的方程为，

设，

∴

，

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE。

解：（Ⅰ）PC⊥AM，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

PA⊥面ABCD，

故可以建立如图所示的空间直角坐标系，

又∵PA=AD=2，

∴P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0）， 

∴M（0，1，1），C（2，2，0），

∴，       

∵，

∴，

设，

∵求得，  

∵，

∴AN⊥PC，  

又PC⊥AM且AM∩AN=A，  

∴PC⊥面AMN。  

（Ⅱ）设平面BAN 的法向量为， 

∵，

∴，  

∵是平面AMN的法向量，

∴，

∴二面角B-AN-M的余弦值。

解：如图所示，以D 为原点建立空间直角坐标系，

由此得

设平面GEF的法向量为n=(x，y，z)．

由可得

令y=1，

∴平面CEF的一个法向量为n=(1，1，1）．