- 立体几何中的向量方法
- 共7934题
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点,
(1)求证:DE∥平面ABC;
(2)求证:平面B1FA⊥平面AEF;
(3)求二面角B1-AE-F的大小。
正确答案
解:以A为原点,以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z的正半轴建立空间直角坐标系,
由AB=AC=AA1=2,
可知各点坐标分别为:A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),
B1(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),D(1,0,1),
(1)
设点G(-1,2,0),则,
∴,
,
,
∴DE∥平面ABC;
(2)证明:,
∴,
,
∴,
又,
∴,
∵,
∴平面B1FA⊥平面AEF;
(3)由(2)可知是平面AEF的一个法向量,
设二面角B1-AE-F的大小为θ,根据已知得θ为锐角,
设平面AEB1的一个法向量为,
,
∴,解得
,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴二面角B1-AE-F的大小为。
在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD,
(Ⅰ)证明AB⊥平面VAD;
(Ⅱ)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.
正确答案
证明:(Ⅰ)作AD的中点O,则VO⊥底面ABCD,
建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为1,
则A(,0,0),B(
,1,0),C(
,1,0),
D(,0,0),V(0,0,
),
∴,
由,
,
又AB∩AV=A,
∴AB⊥平面VAD。
(Ⅱ)由(Ⅰ)得是面VAD的法向量,
设是面VDB的法向量,
则
,
∴,
又由题意知,面VAD与面VDB所成的二面角,
所以其大小为。
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E 、F 分别是BB1 、D1B1的中点.求证:EF ⊥平面B1AC.
正确答案
证明:设,
则
=(-a+b+c),
=a+b.
,即EF⊥AB1,
同理,EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,
∴EF⊥平面B1AC.
根据下列条件,判断相应的线、面位置关系.
(1) 直线l1、l2的方向向量分别是a= (1 ,-3 ,-1 ),b=(8 ,2 ,2) ;
(2) 平面α、β的法向量分别是u=(1,3 ,0) ,v=(-3 ,-9 ,0) ;
(3) 直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a=(1 ,-4 ,-3) ,u=(2 ,0 ,3) ;
(4) 直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a=(3 ,2 ,1) ,u= (-1 ,2 ,-1 ).
正确答案
解:(1)∵a=(1,-3,-1),b=(8,2,2),
∴a·b=8-6-2=0,
∴a⊥b,
∴l1⊥12.
(2)∵u=(1,3,0),v=(-3,-9,0),
∴v=-3u,
∴y∥u,
∴α∥β.
(3)∵a=(1,-4,-3),u=(2,0,3),
∴a·u≠0且a≠ku(k∈R),
∴a与u既不共线也不垂直,即l与α相交但不垂直.
(4)∵a=(3,2,1),u=(-1,2,-1),
∴a·u=-3+4-1=0,
∴a⊥u,
∴lα或l∥α.
如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q、R分别是O1B1、AE的中点,求证:PQ∥RS.
正确答案
证明:如图,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),
A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0),
∵AP=2PA1,∴=2
=
,
即=
(0,0,2)=(0,0,
),∴P(3,0,
)
同理可得,Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,),
∴=(-3,2,
)=
,
∴∥
,
∵R∉PQ,
∴PQ∥RS
在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是棱BC 的中点, 试在棱CC1上求一点P ,使得平面A1B1P ⊥平面C1DE .
正确答案
解:如图,以D 为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为1,P(0 ,1 ,a) ,
则D(0,0,0),A1(1,0,1) ,B1(1,1,1),,C1(0,1,1).
=(0,1,0),
=(-1,1,a-1),
=(0,1,1).
设平面A1B1P的一个法向量n1= (x1,y1,z1),则
令z1=1,x1=a-1,
∴n1=(a-1,0,1).
设平面C1DE的一个法向量n2=(x2,y2,z2),
则
令y2=1,得x2=-2,z2=-1,
∴n2=(-2,1,-1).
∵若平面A1B1P⊥平面C1DE,
∴n1·n2=0,
∴-2(a-1)-1=0,
解得
∴当P为C1C的中点时,平面A1B1P⊥平面C1DE.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动。
(1)证明:D1E⊥A1D;
(2)是否存在点E使得面D1DE⊥面D1EC?若存在,请求出此时点E到面ACD1的距离;若不存在,请说明理由;
(3)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为?
正确答案
解:如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设AE =x,
则 D(0,0,0),A(1,0,1),D(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)
(1)因为
所以
即D1E⊥A1D。
(2)设平面D1EC的一个法向量为n1=(a,b,c)
则
令b=1,则c=2,a=2-x,n1=(2-x,1,2),
再设平面D1DE的一个法向量为
则
令n=1,则m=-x,n2=(-x,1,0)
由面D1DE⊥面D1ECn1·n2=(2-x,1,2)·(-x,1,0)=0得x2-2x+1=0
故x=1
故E为AB的中点时,有面D1DE⊥面D1EC
由于此时点E为AB的中点,故E(1,1,0),
设平面ACD1的一个法向量n3=(x,y,z),则
令x=2,则y=1,z=2,即n3=(2,1,2),
故点E到面ACD1的距离为。
(3)由上述解答过程可知面D1EC的法向量为n=(2-x,1,2)
由题意,
故(不合题意,舍去)
∴当时,二面角D1-EC-D的大小为
。
已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点。
(Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小。
正确答案
解:设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向,
建立空间直角坐标系,如图,则P(0,0,1),C(0,1,0),
B(2,0,0),M(1,0,),N(
,0,0),S(1,
,0),
(Ⅰ),
因为,
所以,CM⊥SN。
(Ⅱ),
设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
则,令x=2,a=(2,1,-2),
所以,
所以,SN与平面CMN所成角为45°。
如图所示,已知空间四边形ABCD,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是CB、CD上的点,且求证:四边形EFGH是梯形.
正确答案
证明:∵E 、H 分别是边AB 、AD 的中点,
且
又F不在EH上,∴四边形EFGH是梯形.
如图,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直,点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上,且BM=,求证:MN∥平面CDE.
正确答案
证明:因为M 在BD 上,且BM=
所以
同理
所以
又与
不共线,根据向量共面的充要条件可知
共面,
由于MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.
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