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题型:简答题
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简答题

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点,

(1)求证:DE∥平面ABC;

(2)求证:平面B1FA⊥平面AEF;

(3)求二面角B1-AE-F的大小。

正确答案

解:以A为原点,以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z的正半轴建立空间直角坐标系,

由AB=AC=AA1=2,

可知各点坐标分别为:A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),

B1(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),D(1,0,1),

(1)

设点G(-1,2,0),则

∴DE∥平面ABC;

(2)证明:

∴平面B1FA⊥平面AEF;

(3)由(2)可知是平面AEF的一个法向量,

设二面角B1-AE-F的大小为θ,根据已知得θ为锐角,

设平面AEB1的一个法向量为

,解得

∴二面角B1-AE-F的大小为

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简答题

在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD,

(Ⅰ)证明AB⊥平面VAD;

(Ⅱ)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.

正确答案

证明:(Ⅰ)作AD的中点O,则VO⊥底面ABCD,

建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为1,

则A(,0,0),B(,1,0),C(,1,0),

D(,0,0),V(0,0,),

又AB∩AV=A,

∴AB⊥平面VAD。

(Ⅱ)由(Ⅰ)得是面VAD的法向量,

是面VDB的法向量,

又由题意知,面VAD与面VDB所成的二面角,

所以其大小为

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简答题

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E 、F 分别是BB1 、D1B1的中点.求证:EF ⊥平面B1AC.

正确答案

证明:设

=(-a+b+c),

=a+b.

,即EF⊥AB1

同理,EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1

∴EF⊥平面B1AC.

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简答题

根据下列条件,判断相应的线、面位置关系.    

(1) 直线l1、l2的方向向量分别是a= (1 ,-3 ,-1 ),b=(8 ,2 ,2) ;    

(2) 平面α、β的法向量分别是u=(1,3 ,0) ,v=(-3 ,-9 ,0) ;   

(3) 直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a=(1 ,-4 ,-3) ,u=(2 ,0 ,3) ;    

(4) 直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a=(3 ,2 ,1) ,u= (-1 ,2 ,-1 ).

正确答案

解:(1)∵a=(1,-3,-1),b=(8,2,2),

∴a·b=8-6-2=0,

∴a⊥b,

∴l1⊥12.

(2)∵u=(1,3,0),v=(-3,-9,0),

∴v=-3u,

∴y∥u,

∴α∥β.

(3)∵a=(1,-4,-3),u=(2,0,3),

∴a·u≠0且a≠ku(k∈R),

∴a与u既不共线也不垂直,即l与α相交但不垂直.

(4)∵a=(3,2,1),u=(-1,2,-1),

∴a·u=-3+4-1=0,

∴a⊥u,

∴lα或l∥α.

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简答题

如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q、R分别是O1B1、AE的中点,求证:PQ∥RS.

正确答案

证明:如图,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),

A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0),

∵AP=2PA1,∴=2=

=(0,0,2)=(0,0,),∴P(3,0,

同理可得,Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,),

=(-3,2,)=

∵R∉PQ,

∴PQ∥RS

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简答题

在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是棱BC 的中点, 试在棱CC1上求一点P ,使得平面A1B1P ⊥平面C1DE .

正确答案

解:如图,以D 为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,    

设正方体的棱长为1,P(0 ,1 ,a) ,

则D(0,0,0),A1(1,0,1) ,B1(1,1,1),,C1(0,1,1).

=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).

设平面A1B1P的一个法向量n1= (x1,y1,z1),则

令z1=1,x1=a-1,

∴n1=(a-1,0,1).

设平面C1DE的一个法向量n2=(x2,y2,z2),

令y2=1,得x2=-2,z2=-1,

∴n2=(-2,1,-1).

∵若平面A1B1P⊥平面C1DE,

∴n1·n2=0,

∴-2(a-1)-1=0,

解得

∴当P为C1C的中点时,平面A1B1P⊥平面C1DE.

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简答题

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动。

(1)证明:D1E⊥A1D;

(2)是否存在点E使得面D1DE⊥面D1EC?若存在,请求出此时点E到面ACD1的距离;若不存在,请说明理由;

(3)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为

正确答案

解:如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,

设AE =x,

则 D(0,0,0),A(1,0,1),D(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)

(1)因为

所以

即D1E⊥A1D。

(2)设平面D1EC的一个法向量为n1=(a,b,c)

令b=1,则c=2,a=2-x,n1=(2-x,1,2),

再设平面D1DE的一个法向量为

令n=1,则m=-x,n2=(-x,1,0)

由面D1DE⊥面D1ECn1·n2=(2-x,1,2)·(-x,1,0)=0得x2-2x+1=0

故x=1

故E为AB的中点时,有面D1DE⊥面D1EC

由于此时点E为AB的中点,故E(1,1,0),

设平面ACD1的一个法向量n3=(x,y,z),则

令x=2,则y=1,z=2,即n3=(2,1,2),

故点E到面ACD1的距离为

(3)由上述解答过程可知面D1EC的法向量为n=(2-x,1,2)

由题意,

(不合题意,舍去)

∴当时,二面角D1-EC-D的大小为

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简答题

已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点。

(Ⅰ)证明:CM⊥SN;

(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小。

正确答案

解:设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向,

建立空间直角坐标系,如图,则P(0,0,1),C(0,1,0),

B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0),

(Ⅰ)

因为

所以,CM⊥SN。

(Ⅱ)

设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,

,令x=2,a=(2,1,-2),

所以

所以,SN与平面CMN所成角为45°。

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简答题

如图所示,已知空间四边形ABCD,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是CB、CD上的点,且求证:四边形EFGH是梯形.

正确答案

证明:∵E 、H 分别是边AB 、AD 的中点,

又F不在EH上,∴四边形EFGH是梯形.

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简答题

如图,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直,点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上,且BM=,求证:MN∥平面CDE.

正确答案

证明:因为M 在BD 上,且BM=

所以

同理

所以

不共线,根据向量共面的充要条件可知共面,

由于MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.

百度题库 > 高考 > 数学 > 立体几何中的向量方法

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