热门试卷

证明：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0).

=（-1，0，-1），=（0，1，-1），=(1，1，0)，=（0，1，-1）．

设平面A1DB的法向量n1=(x，y，z)，

则得

令x=-1，则y=z=1，

∴平面A1DB的一个法向量n1=（-1，1，1）．

同理，平面CB1D1的一个法向量n2=（1，-1，-1）．

∴n1=-n2，即n1∥n2，

∴平面A1BD∥平面CB1D1．

解：（1）取DE的中点G，建系如图，则A（0，，0）、B（0，-1，0）、C（1，0，0）、 D（-1，0，1），E（1，0，3）、F（0，，2）、G（0，0，2），

=（2，02），=（1，，1），

设平面DEF的一法向量=（x，y，z），

则即，不妨取x=1，则y=0，z=-1，

∴=（1，0，-1），平面ABC的一法向量=（0，0，1），=（0，，0），

=0，

∴，

又OA平面DEF，

∴OA//平面DEF；

（2）显然，平面BCED的一法向量为=（0，1，0），=0，

∴平面DEF⊥平面BCED；

（3）由（1）知平面DEF的一法向量=（1，0，-1），平面ABC的一法向量=（0，0，1），

cos<>=，

∴求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为。

解：（1）如图所示，以CB为x轴，CA为y轴，为z轴，

建立空间直角坐标系，

由，

可得C（0，0，0，）， A（0，2，0），

B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2），

则，，，

设平面ADB的法向量为，

得，

即，

则取法向量为，

则点E到平面ADB的距离。

（2），E（1，0，2），D（0，0，1），

可得，，

设平面的法向量为，

故可令，，D（0，0，1），B（2，0，0），

可得，，

设平面的法向量为，

故可令，∴，

即求二面角的余弦值为；

（3）假设存在点F，坐标为（0，y，0），则，

由EF⊥平面，得，

即，

∴F（0，1，0）即为AC的中点。

解：（1）分别取AB、DF的中点O、G，

连接OC、OG，

以直线OB、OC、OG分别为x轴、y轴、z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

，

则D、E、F的坐标分别为D（1，0，1）、

E（0，，3）、F（-1，0，4），

∴=（-1，，2），=（-2，0，3），

设平面DEF的法向量，

由，

得，

可取，

平面ABC的法向量可以取，

∴，

∴平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为。

 （2）在（1）的坐标系中，AF=a，

=（-1，，2），=（-2，0，a-1），

因P在DE上，设，

则

，

∴

，

于是CP⊥平面DEF的充要条件为

，

由此解得，，

即当a=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，

使CP⊥平面DEF。

解：取AB中点H，

则由PA＝PB，得PH⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，

且平面PAB∩平面ABCD=AB，

所以PH⊥平面ABCD，

以H为原点，建立空间直角坐标系H-xyz（如图），

则

，

（Ⅰ）证明：∵，   

 ∴，

∴，即PD⊥AC。

（Ⅱ）假设在棱PA上存在一点E，

不妨设=λ，

则点E的坐标为，  

∴，

设是平面EBD的法向量，

则

，

不妨取，

则得到平面EBD的一个法向量，

又面ABD的法向量可以是=(0，0，)，

要使二面角E-BD-A的大小等于45°，

则

，

可解得，即=，

当时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°。

证明：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图．

不妨设正方体的棱长为2，则E(1，1，0)，F(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，2，1)，M(1，1，2)，N(0，1，1).

所以=(0，-1，1)，

=(1，1，0)，

=（0，-1，1），

=(1，1，0)，

所以

∴EF∥HM，FG∥NH.

因为HM平面HMN，NH平面HMN，

所以EF∥平面HMN,FG平面HMN.

因为EF平面EFG，FG平面EFG，

EF∩FG=F，

所以平面EFG∥平面HMN.

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，

D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，2)，

所以，

 又由知为平面的一个法向量，

设AP与面所成的角为θ，

则，，

解得：，

故当时，直线AP与平面所成角为60°。

（2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，

则，

依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，

等价于

 ，

即Q为A1C1的中点时，满足题设的要求。

解：如图建立空间直角坐标系，

（1），

，

，

，

∴，

∴A1B⊥C1M。

 （2）依题意得：B（0，2，0），N（2，0，2），

∴。

（3）依题意得：，

，

∴，

，

∴平面，

得，

设平面，

则，

∴y=-z，

，

∴x=-z，

令z=1，

则，

则，

由题意可知：二面角B1-A1E-C1的大小是锐角，

所以二面角B1-A1E-C1的平面角的余弦值是。

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD，

又因为PA⊥平面ABCD，

所以PA⊥BD，

所以BD⊥平面PAC。

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，

因为∠BAD=60°，PA=PB=2，

所以BO=1，AO=CO=，

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，

则 P（0，，2），A（0，，0），B（1，0，0），

C（0，，0），

所以，

设PB与AC所成角为θ，

则；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，

设P（0，，t）（t＞0），

则，

设平面PBC的法向量m=（x，y，z），

则，

所以，

令，

则，

所以，

同理，平面PDC的法向量，

因为平面PCB⊥平面PDC，

所以=0，

即，

解得t=，

所以PA=。