热门试卷

解：以点C为原点，CB、CA、CC1所在直线为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系C- xyz，如图所示，

则B(1，0，0)，，

所以，

(1)因为，

所以A1B⊥AM。

(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，

又BC平面ABC，所以CC1⊥BC，

因为∠ACB=90°，即BC⊥AC，

所以BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC，

所以是平面AMC的一个法向量，，

设n=(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，

，

由，得，

令z=2，得，所以，

因为，，

所以，

因此二面角B-AM-C的平面角的大小为45°．

解：（Ⅰ）∵ 平面，

，AB=1，AD=2，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

不妨令，

∵，，

∴，

即PF⊥FD。

（Ⅱ）设平面PFD的法向量为，

由，得，

令z=1，解得：，

∴，

设G点坐标为，，

则，

要使EG∥平面PFD，只需，

即，

得，

从而满足的点G即为所求。

（Ⅲ）∵AB⊥平面PAD，

∴是平面PAD的法向量，易得，

∵PA⊥平面ABCD，

∴是PB与平面ABCD所成的角，

得，PA=1，

平面PFD的法向量为，

∴，

故所求二面角A-PD-F的余弦值为。

（1）证明：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），A′（1，0，1），D′（0，0，1），

E（1，1，），F（，1，1），

，，，

设平面A′DE的法向量为，

则，即，

从而，

，

∴，

所以D′F∥平面A′DE；

（2）解：设平面ADE的法向量为，，，

则，即，

从而，

由（1）知DEA′的法向量为，

 ，

∴二面角A-DE-A′的余弦值为。

（1）证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，

设AE=m，则，

从而，

直接计算知，，

所以，。

（2）①，

所以，，

从而E、F分别是AB、BC的中点，

在中，，，

解得：。

②由①得，，设平面的一个法向量为，

依题意，

所以，，

同理平面的一个法向量为，

由图知，面与面所成二面角的余弦值（即）。

解：（Ⅰ）证明：∵该几何体的正视图为矩形，

左视图为等腰直角三角形，

俯视图为直角梯形，

∴两两垂直，

以分别为x，y，x轴

建立空间直角坐标系如图，

则

，

∴，

，

∴，

又，

∴。

（Ⅱ）∵，

是平面C1B1N的一个法向量，

设的一个法向量，

则

，

所以可取，

则

，

∴所求二面角C-NB1-C1的余弦值为。

解：如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，

则D（0，0，0），，C（0，1，0），C（0，1，1）

B1（1，1，1），

（1）证明：=，=（-1，0，-1），

·（-1，0，-1）=×（-1）=0，

∴，即EF⊥B1C．

，则

又．且

即EF与C1G所成角的余弦值为

解：（1）如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，

则，

，

因为，

所以直线BC1和B1D1所成角的大小为60°；

（2）连结A1C1，记，连结OB，

因为，

所以，

从而是直线BC1和平面B1D1DB所成的角，

易知，

从而，

因为，

所以直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小是30°。

解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）

（1）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m<0，n>0）

则，

可得

因为

所以PE⊥BC。

（2）由已知条件可得

故，，，

设n=（x，y，z）为平面PEH的法向量

则，即

因此可以取n=（1，，0）

由可得

所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为。