热门试卷

解：（1）根据已知条件，在△A1BC中，BC=，A1B=1，A1C=2；

∴；

∴A1B⊥BC；

又A1B⊥BD，BD∩BC=B；

∴A1B⊥平面BCD，A1B⊂平面A1BD；

∴平面A1BD⊥平面BCD；

（2）以BD的垂线，BD，BA1三直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

B（0，0，0），C（1，，0），D（0，，0），A1（0，0，1）；

∴，；

∴；

∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为；

（3）为平面BCD的一条法向量，E在线段A1C上；

∴设E（x，x，1-x），x∈[0，1]；

∴；

∵DE与平面BCD所成的角正弦值为；

∴=；

解得x=，或2（舍去）；

∴；

即当线段EC=时，DE与平面BCD所成的角正弦值为．

解：（Ⅰ）证明：E为BD1的中点，F为AB的中点；

∴EF为△ABD1的中位线；

∴EF∥AD1，AD1⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1；

∴EF∥平面ADD1A1；

（Ⅱ）AB∥CD，AB=2DC，F为AB中点；

∴DC∥FB，且DC=FB；

∴四边形DCBF为平行四边形；

∴DF=CB，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°；

∴△ADF为等边三角形，∠ADF=60°；

取AF中点G，连接DG，则∠GDC=90°；

即DG⊥DC，又DD1⊥底面ABCD；

∴DG，DC，DD1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

，；

∴，；

设平面DEF的法向量为，则：；

∴，取z=1，则；

设A1F和平面DEF所成角为θ，则sinθ==；

∴A1F和平面DEF所成角的正弦值为．

证明：（1）取PD的中点E，连接EM，EA，则EM∥AB，且EM=AB

所以四边形ABME为平行四边形，所以BM∥AE

又AE⊂平面PAD，BM不在平面PAD内，∴BM∥平面PAD；

解：（2）以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

则B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，1，1），E（0，1，1）

假设存在满足题意的点，则在平面PAD内，设N（0，y，z），得，

所以，即N是AE的中点，此时MN⊥平面PBD，

设直线PC与平面PBD所成的角为θ，

易得

设与的夹角为α，则，

故直线PC与平面PBD所成角的正弦值为

解：（1）证明：如图，连接BD交AC于O，连接PO，则：

PO为△BDF的中位线；

∴PO∥BF，即BF∥PO；

PO⊂平面ACP，BF⊄平面ACP；

∴BF∥平面ACP；

（2）∵∠ACD=90°；

∴AC⊥AB；

∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，AF⊥AB；

∴AF⊥平面ABCD；

∴AB，AC，AF三条直线两两垂直；

∴分别以AB，AC，AF所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：

A（0，0，0），C（0，，0），F（0，0，1），D（）；

设P（x，y，z），设；

∴；

∴；

∴；

过P作PG∥AF，交AD于G，则PG⊥平面ABCD，作GH∥AB，交AC于H，连接PH，则：

GH⊥AC，PH⊥AC；

又AF⊥平面ABCD，AF⊥AC；

∴向量和的夹角即为二面角P-AC-F的大小；

并且H的坐标为（0，，0）；

∴，；

∵二面角P-AC-F的正弦值为；

∴二面角P-AC-F的余弦值为；

∴==；

解得，或λ=2（舍去）；

∴；

∴；

为平面ABCD的法向量，设AP与平面ABCD所成角为θ，则：

sinθ==；

∴AP与平面ABCD所成角的大小为．

解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O．

在正方体ABCD-A1B1C1D1中

因为A1B1⊥平面BCC1B1．

所以A1B1⊥BC1．

又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O

∴BC1⊥平面A1B1CD 

（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a

在RT△A1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，∠BA1O=30°，

即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．