热门试卷

解：连接C1D，与CD1相交于O，连接B0，

∵BC⊥面CD1，∴BC⊥C1D，

正方形C1D中，C1D⊥CD1，

∵BC∩CD1=C

∴C1D⊥平面BCD1A1，

∴∠OBC1为所求角

∵B1C1=BC1，

∴∠OBC1=．

解：（1）以A为原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a），E（，，），

=（，，），=（a，0，0），=（0，a，-a），

设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，

取=（0，1，1），则直线AE与平面PCD所成角的正弦值为=；

（2）G（，a，0），设P（0，0，c）（c＞0），则=（-a，-a，c），

设=λ，则E（（1-λ）a，（1-λ）a，λc），

∴=（-λa，（1-λ）a，λc），

∵BE=a，

∴（-λa）2+[（1-λ）a]2+（λc）2=①

∵BE⊥PC，

∴λa2-（1-λ）a2+λc2=0，

∴c2=a2，②

由①②解得λ=，c=a，

∴E（a，a，a），P（0，0，a）

若存在满足条件的点F，可设AF=l（0≤l≤a），则F（l，0，0），=（l-a，-a，-a），

设平面PAG的法向量为=（s，t，p），则，

∴=（（-2，1，0），

∵EF∥平面PAG，∴•=0，

∴-2l+a-a=0，

∴l=a，

∴存在满足条件的点F，AF=a．

（1）证明：连接AC，则四边形ACC1A1是平行四边形，

∴A1C1∥AC，

∵A1C1⊄面ABCD，AC⊂面ABCD，

∴A1C1∥面ABCD；

（2）根据长方体的性质，可得AC是AC1在底面ABCD的射影，∠C1AC为对角线AC1与底面ABCD所成角．

∵AB=AD=1，AA1=2，

∴AC=，CC1=2，

在Rt△C1AC中，tan∠C1AC==．

（1）解：取A1B1中点M，连接C1M，BM．

∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，

∴C1M⊥A1B1，C1M⊥BB1．

∴C1M⊥平面A1ABB1．

∴∠C1BM为直线C1B与平面A1ABB1所成的角．

在Rt△BMC1中，C1M=a，BC1=a，

∴sin∠C1BM==．

（2）证明：取A1C1的中点D1，AC1的中点F，连接B1D1、EF、D1F．

则有D1FAA1，B1EAA1．

∴D1FB1E．

则四边形D1FEB1是平行四边形，

∴EFB1D1．

由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，

∴B1D1⊥A1C1．

又∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1，且B1D1⊂平面A1B1C1，

∴B1D1⊥平面ACC1A1，∴EF⊥平面ACC1A1．

∵EF⊂平面AEC1，∴平面AEC1⊥平面ACC1A1．

（3）由（2）知，EF⊥平面AC1，则EF是三棱锥E-ACC1的高．

由三棱柱各棱长都等于a，则EC=AE=EC1=a，AC1=a．

∴EF==a．

∵V=V，设三棱锥V的高为h，则h为点C1到平面AEC的距离．

则S△AEC•h=S•EF，

即×a2h=×a2•a．

∴h=a，即点C1到平面AEC的距离是a．

（1）证明：取DC的中点E，连接EM、EN，

∵M，N分别是PC、AB的中点，∴ME∥PD，NE∥AD，

∵ME∩NE=E，PD∩AD=D

∴平面MNE∥平面PAD

∵MN⊂平面MNE，

∴MN∥平面PAD；

（2）解：取AD的中点F，连接PF，BF

∵△PAD为正三角形，∴PF⊥AD

∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PF⊥底面ABCD，

∴∠PBF是直线PB与平面ABCD所成的角

设AD=2，则PF=，BF=

在直角△PFB中，tan∠PBF==．