热门试卷

（Ⅰ）证明：连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，

∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．

∴OE为△PAC的中位线．

∴PA∥OE，而OE⊂平面EDB，PA⊄平面EBD，

∴PA∥平面EDB．

（Ⅱ）解：取DC中点F，连接BF，则EF∥PD

∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，

∴∠EBF为直线BE与平面ABCD所成角

∵四边形ABCD为矩形，PD=DC=2，BC=，F为DC中点

∴EF=1，BF=

∴tan∠EBF==

∴∠EBF=

∴直线BE与平面ABCD所成角为

（1）证明：以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，），B（2，0，0）D（0，2，0），

取BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且AF=CF=，

又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，

∴C的坐标为C（1，1，）

∴=（-2，2，0），=（-1，-1，0）

∴•=2-2+0=0，

∴⊥，∴BD⊥CE；

（2）解：设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则

∵=（-2，2，0），=（0，-2，）   

∴

∴=（1，1，）    

又=（0，0，），

设平面DE与平面BCE所成角为θ，则

sinθ=|cos＜，＞|==

∴AE与平面BDE所成角为45°；

（3）解：假设存在点M使得CM∥面ADE，则=λ

∵=（2，0，-），∴=（2λ，0，-λ）  

得M（2λ，0，-λ）     　

又∵AE⊥平面ABD，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADE

∵CM∥面ADE，∴=0

得2λ-1=0，∴λ=

故点M为BE的中点时CM∥面ADE．

（Ⅰ）证明：连接BD，则

∵DE∥BF，

∴D、E、B、F共面

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵BF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥BF，

∵BD∩BF=B，

∴AC⊥平面DEFB，

∵EF⊂平面DEFB，

∴AC⊥EF；

（2）解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，1，1），

设G（2-x，2-x，x），平面ACE的法向量为=（x，y，z），则

∵=（-1，1，0），=（1，0，1），

∴，

∴=（1，1，-1），

∵=（2-x，2-x，x），

∴2-x+2-x-x=0，

∴x=，

∴G（，，），

∴=（-，，），

∴直线AG与平面ACE所成角θ的正弦值为||=．

（I）证明：因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，所以△ACD为正三角形，所以AC=AD，又因为点N为CD中点，所以CD⊥AN．

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．PA∩AN=A，∴CD⊥平面PAN．

（II）由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAN，CD⊂平面PCD，∴平面PAN⊥平面PCD，且平面PAN∩平面PCD=PN，

过A作AH⊥PN于H，则AH⊥平面PCD，连接MH，则∠AMH为直线AM与平面PCD所成角．

在RT△PAN中，PA=，AN=，由勾股定理得出PN=，根据面积相等法得AH==．

在RT△PAC中，AM=PC==1，

在RT△AMH中，sin∠AMH===．即直线AM与平面PCD所成角的正弦值是．

（1）证明：连接A1C，交AC1于O，连接OD，

由于OD是△A1BC的中位线，则OD∥A1B，

又OD⊂平面面AC1D，A1B⊄平面AC1D，

则有A1B∥平面AC1D；

（2）解：过C作CM⊥平面AC1D，垂足为M，连接MC1，

则∠MC1C即为求C1C与平面AC1D所成角．

设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2a，CM=d，

则C1D==a，AD=，

AC1=2a，由AC12=C1D2+AD2，即有AD⊥C1D，

△ADC1的面积为=a2，

由=，可得，d•=•2a•

即有da2=a3，解得，d=a．

则cos∠MC1C===．

即有C1C与平面AC1D所成角的余弦值．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

∴平面AEC⊥平面PDB；

（2）解：连接AC，BD，交于O，连接OE，则

∵PD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，

∴PD⊥AC，

∵四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

∴AC⊥BD

∵PD∩BD=D

∴AC⊥平面PDB

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，

设AB=a，则PD=a，∴OE=a

∵AO=a，∴AE=a，

∴sin∠AEO==，

∴∠AEO=45°

解：（Ⅰ）证明：如图，取PA的中点F，连结FE、FB，

则FE∥BC，且FE=AD=BC，

∴BCEF是平行四边形，

∴CE∥BF，而BF⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB；

（Ⅱ）取AD的中点G，连接EG，则EG∥AP，

问题转化为求EG与平面ACE所成的角的正弦．

连接BG交AC于O，连接OE，

由AC⊥EG，AC⊥BG，可得AC⊥平面OEG，即有：

平面ACE⊥平面OEG，交于直线OE，

过G作GH⊥OE，交OE于H，

可得∠GEH为EG与平面ACE所成的角，即∠GEO，

由EG=1，GO=，可得EO=，

可得sin∠GEO==，

则PA与平面ACE所成角的正弦值为．