- 立体几何中的向量方法
- 共7934题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过A点作面A1BD的垂线，垂足为P．则下列命题：
①P是△A1BD的重心；
②AP也垂直于面CB1D1；
③AP的延长线必通过点C1；
④AP与面AA1D1D所成角为45°．
其中，正确的命题是（ ）
正确答案
解析
解：如图由正方体的性质知面A1BD与体对角线AC1垂直，三角形A1BD是一个正三角形，
故它们的交点也是三角形的中心，面A1BD与面CB1D1是平行的关系，且它也是一个正三角形；
由此则可以判断①P是△A1BD的重心是正确的；
②AP也垂直于面CB1D1正确；
③AP的延长线必通过点C1；正确；
④AP与面AA1D1D所成角为45°不正确，因为该线面角是∠C1AD，其不是一个等腰直角三角形，
故选B．
在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，且各棱长都相等点E是边AB的中点，则直线C1E与平面BB1CC1所成角的正切值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
因为BB1∥AA1，AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC，
BB1⊂面BC1，所以面BB1⊥底面ABC，
所以EF⊥面BC1，则∠EC1F即为直线C1E与平面BB1CC1所成角，
设各棱长为1，在Rt△EFB中，EF=BE•sin∠EBF=
在Rt△C1CF中，
所以tan∠EC1F=
故选A．
（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）求直线B1C1与平面A1BD所成角的正弦值．
正确答案
如图，取BC的中点E，连接B1E，则Rt△BCD≌Rt△B1BE
∴∠BB1E=∠CBD
∴∠CBD+∠BEB1=∠BB1E+∠BEB1=90°
∴BD⊥B1E
由平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC1B1
∴AE⊥BD
∵B1E⊂平面AEB1，AE⊂平面AEB1，AE∩B1E=E
∴BD⊥平面AEB1
∴BD⊥AB1
∵A1B⊂平面A1BD，BD⊂平面A1BD，A1B∩BD=B
∴AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）解：设AB1∩A1B=O，延长BD，B1C1，相交于F，连接OF，则∠OFB1为直线B1C1与平面A1BD所成角．
∵正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，
∴
∴sin∠OFB1=
解析
如图，取BC的中点E，连接B1E，则Rt△BCD≌Rt△B1BE
∴∠BB1E=∠CBD
∴∠CBD+∠BEB1=∠BB1E+∠BEB1=90°
∴BD⊥B1E
由平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC1B1
∴AE⊥BD
∵B1E⊂平面AEB1，AE⊂平面AEB1，AE∩B1E=E
∴BD⊥平面AEB1
∴BD⊥AB1
∵A1B⊂平面A1BD，BD⊂平面A1BD，A1B∩BD=B
∴AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）解：设AB1∩A1B=O，延长BD，B1C1，相交于F，连接OF，则∠OFB1为直线B1C1与平面A1BD所成角．
∵正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，
∴
∴sin∠OFB1=
在四面体PABC中，PA=PB=PC=AB，如果PA与平面ABC所成的角等于60°，则PC与平面PAB所成的角的最大值是______．
正确答案
60°
解析
解：如图所示，过点P作PO⊥平面ABC，
连接OA，OB，OC．取AB的中点D，连接OD，PA．
则∠PAO是PA与平面ABC所成的角，其大小等于60°．
不妨设PA=2=AB=PB=PC，则PO=
∴PD=
因此点O与D必然重合．
可知：点C在以O为圆心，AB为直径的圆周上运动（去掉A，B两点）．
当且仅当CD⊥AB时，PC与平面PAB所成的角取得最大值60°．
故答案为：60°．
正四棱锥V-ABCD中，底面正方形的边长为2，侧棱长为
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题得：V在底面ABCD中的射影为底面中心O．
取AO中点F，连接EF，则EF∥VO
∴EF⊥底面ABCD，
∠ECF即为EC与底面ABCD所成角
因为底面正方形的边长为2⇒AC=2
故VO=
∴EF=
则FC=OC+FO=
∴tan∠ECF=
故EC与底面ABCD所成角的正切值为：
故选B
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为
A
B
C
D
正确答案
解析
∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，
∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．
∵
∴V三棱柱ABC-A1B1C1=
又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴
在Rt△AA1P中，
∴
故选B．
（1）求证：A′C⊥BC′；
（2）请在线段CC′上确定一点P，使直线A′P与平面A′BC所成角的正弦等于
正确答案
证明：（1）由题意，取B′C′的中点E，以BC中点O为坐标原点，OC，OE，OA分别为x，y，z轴．
则
∴
∴
∴A′C⊥BC′；
（2）设P（1，a，0），则
设平面A′BC的法向量为
∵
∴
∴
即
解析
证明：（1）由题意，取B′C′的中点E，以BC中点O为坐标原点，OC，OE，OA分别为x，y，z轴．
则
∴
∴
∴A′C⊥BC′；
（2）设P（1，a，0），则
设平面A′BC的法向量为
∵
∴
∴
即
（Ⅰ）求证：OE∥平面PCD；
（Ⅱ）求直线CE与平面PDC所成角的正弦值．
正确答案
∴OE∥PF，PF⊂平面PCD，OE⊄平面PCD，∴OE∥平面PCD；
（Ⅱ）∵平行四边形ADFB中，AB=AD=2，AB⊥AD，∴四边形ADFB是正方形，
∴OD⊥OF，又PB=PD=2，O为BD的中点，
∴PO⊥OD，
同理PO⊥AF，
∴PO⊥平面ABCD，
分别以OD，OF，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图
可得平面PDC的一个法向量为
设所求线面角为θ，所以
所以直线CE与平面PDC所成角的正弦值为
解析
∴OE∥PF，PF⊂平面PCD，OE⊄平面PCD，∴OE∥平面PCD；
（Ⅱ）∵平行四边形ADFB中，AB=AD=2，AB⊥AD，∴四边形ADFB是正方形，
∴OD⊥OF，又PB=PD=2，O为BD的中点，
∴PO⊥OD，
同理PO⊥AF，
∴PO⊥平面ABCD，
分别以OD，OF，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图
可得平面PDC的一个法向量为
设所求线面角为θ，所以
所以直线CE与平面PDC所成角的正弦值为
（1）求证：EF∥平面ABC
（2）求直线BD与平面AED的夹角θ的正弦值．
正确答案
∵F为AD的中点，∴FG∥CD，FG=
又BE∥CD，BE=
∴四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG．
EF⊄面ABC，BG⊂面ABC，∴EF∥平面ABC．
（2）解：∵AC=BC=2，AB=
又CD⊥面ABC，∴CD⊥BC，CD⊥AC．
以C为坐标原点，以CB、CA、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则B（2，0，0），D（0，0，2
∴
设平面AED的一个法向量为
由
取z=1，得y=
∴
∴直线BD与平面AED的夹角θ的正弦值
sinθ=
解析
∵F为AD的中点，∴FG∥CD，FG=
又BE∥CD，BE=
∴四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG．
EF⊄面ABC，BG⊂面ABC，∴EF∥平面ABC．
（2）解：∵AC=BC=2，AB=
又CD⊥面ABC，∴CD⊥BC，CD⊥AC．
以C为坐标原点，以CB、CA、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则B（2，0，0），D（0，0，2
∴
设平面AED的一个法向量为
由
取z=1，得y=
∴
∴直线BD与平面AED的夹角θ的正弦值
sinθ=
（1）求证：BE∥平面ACF；
（2）求PC与平面PAD所成角的正弦值．
正确答案
（1）证明：连结BD交AC于点O，
取PF的中点G，连结OF，BG，EG，
∵O，F分别是DB，DG的中点，∴OF∥BG，
∵E，G分别是PC，PF的中点，∴EG∥CF，
∴平面BEG∥平面ACF，
又∵BE⊂平面BEG，
∴BE∥平面ACF．
（2）∵BC=2AB，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°．
过C作AD的垂线，垂足为H，则CH⊥AD，CH⊥PA，
∴CH⊥平面PAD．
∴∠CPH为PC与平面PAD所成的角．
设AB=1，则BC=2，AC=
∴sin∠CPH=
解析
（1）证明：连结BD交AC于点O，
取PF的中点G，连结OF，BG，EG，
∵O，F分别是DB，DG的中点，∴OF∥BG，
∵E，G分别是PC，PF的中点，∴EG∥CF，
∴平面BEG∥平面ACF，
又∵BE⊂平面BEG，
∴BE∥平面ACF．
（2）∵BC=2AB，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°．
过C作AD的垂线，垂足为H，则CH⊥AD，CH⊥PA，
∴CH⊥平面PAD．
∴∠CPH为PC与平面PAD所成的角．
设AB=1，则BC=2，AC=
∴sin∠CPH=
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