热门试卷

解：（1）条件②AC⊥BD，可作为AC⊥BD1的充分条件．

证明如下：

∵AA1⊥平面ABCD，AA1∥DD1，∴DD1⊥平面ABCD，

∵AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC．

若条件②成立，即AC⊥BD，

∵DD1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1，

又BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．

（2）由已知，得ABCD是菱形，∴AC⊥BD．

设AC∩BD=0，O1为B1D1的中点，

则OO1⊥平面ABCD，

∴OO1、AC、BD交于同一点O且两两垂直．

以OB，OC，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．

设OA=m，OB=n，其中m＞0，n＞0，m2+n2=1，

则A（0，-m，0），B（n，0，0），C（0，m，0），C1（0，m，1），D1（-n，0，1），

=（-n，m，1），=（-2n，0，1），

设=（x，y，z）是平面BC1D1的一个法向量，

则，令x=m，则y=-n，z=2mn，

∴=（m，-n，2mn），

又=（0，2m，0）是平面BDD1的一个法向量，

∴cosθ=，

令t=n2，则m2=1-t，∵∠BAD为锐角，

∴0＜n＜，则0＜t＜，cosθ==，

∵函数y=-4t在（0，）上单调递减，∴y=-4t＞0，

∴0＜cosθ＜，

又0＜θ＜，∴＜θ＜，即平面BDD1与平面BC1D1所成角的取值范围为（，）．

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

又∵PA⊥BC，

∴PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面PCB，

∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）解：过A作AH⊥PC于H，

∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，

∴AH⊥平面PBC，

∴∠ACH为AC与平面PBC所成的角，

Rt△PAC中，tan∠ACH==，

∴AC=1．

（1）证明：因为AB⊥侧面BB1C1C，BCl⊂侧面BB1C1C，故AB⊥BCl，

在△BCCl中，BC=1，CC1=BB1=2，，可得△BCE为等边三角形，BE=EC1，∠EBC1=，所以BC⊥BCl．

而BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．（6分）

（2）解：在△B1C1E中，EC1=1，C1B1=1，∠B1C1E=，

∴∠B1EC1=

∵∠BEC=，∴BE⊥EBl．

又∵AB⊥侧面BBlC1C，∴AB⊥BlE，

又AB∩BE=B，∴B1E⊥平面ABE，∴AE⊥BlE，

∴∠AEB即是二面角A-B1E-B的平面角．

在Rt△ABE中，tan∠AEB==1，故∠∠AEB=．

所以二面角A-B1E-B的大小为．（12分）

解：（1）证明：连接A1B交AB1于E点，

在平行四边形ABB1A1中，有A1E=BE，又A1D=DC1

∴DE为△A1BC1的中位线，从而DE∥BC1，

又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，

∴直线BC1∥平面AB1D

（2）取BC中点F，连AF，B1F

∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是边长为a的正三角形，

又AC=a，BC=a，AB=a知AF⊥BC，∴AF⊥面BCC1B1

又F为BC中点，∴DF=，⊥面BCC1B1

∴AB1在平面BCC1B1内的射影为FB1

∴AB1与平面BCC1B1的所成角为∠AB1F

在RT△FB1A中，B1B=，BF==，

∴∠AB1F=45°．

（3）连接MN，过A1作A1F⊥AB1于F．

由（2）中的作法可知：∠MND为二面角A1-AB1-D平面角，

设=λ，则=，

则可得DM=λ，A1F=a，=1-⇒MN=（1-），

∴tanθ===-3+．∴-3+=1⇒λ=

即点D在棱A1C1上，且=时，

二面角A1-AB1-D平面角的正切值的大小为．

解：（1）依题意：AE⊥A1E，AE⊥A1D1，则AE⊥平面A1D1E．

（2）．

（3）取AA1的中点O，连OE，则EO⊥AA1、EO⊥A1D1，

所以EO⊥平面ADD1A1．

过O在平面ADD1A1中作OF⊥AD1，交AD1于F，连EF，则AD1⊥EF，

所以∠EFO为二面角E-AD1-A1的平面角．

在△AFO中，．

∴．

解：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．

（1）因=（1，1，0），=（0，2，-1）

||=，|=，|

所以cos＜，＞==．

所以，AC与PB所成的角余弦值为．

（2）∵M（0，1，），=（0，1，），=（1，1，0），=（0，2，0），

∴面ACM的法向量为=（x，y，z），

，，=（1，-1，2），

∴cos＜，＞==，

∴直线AB与面ACM所成角的正弦值．