热门试卷

解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．

则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），

从而=（-λ，，-1），=（0，1，），=（-λ）×0+×1-1×=0，所以PN⊥AM．

（2）平面ABC的一个法向量为 ==（0，0，1）．

设平面PMN的一个法向量为 =（x，y，z），

由（1）得 =（λ，-1，）．

由

解得

∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，

∴|cos＜，＞|=||==，

解得λ=-．（11分）

故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|=．（12分）

解：（1）在直角梯形ABCD中，由AC=2，CD=2AB=4，∠ADC=90°，可得AD=2，BC=BD=4

∴△BPC为等边三角形

取BC的中点O，连接PO，则PO⊥BC

∵平面 BPC丄平面ABCD，平面 BPC∩平面ABCD=BC

∴PO⊥平面ABCD

∴四棱锥P-ABCD的体积为；

（2）连接OD，由（1）可得△BDC为等边三角形，而O为BC的中点，∴OD⊥BC

∵平面 BPC丄平面ABCD，平面 BPC∩平面ABCD=BC，∴OD⊥平面 BPC

延长CB与DA交于E，连接PE，过O作ON⊥PE，连DN，则∠DNO为所求二面角的平面角

∵ON=PC=3，OD=2，∴tan∠DNO=．

（Ⅰ）证明：取BC、BD的中点M、N，连接AM、EN和MN，

则．

∵AE，∴MNAE，

又AE⊥平面ABC，AM⊆面ABC，∴AE⊥AM，

∴ABMN为矩形，∴NE⊥MN．

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，

∵△ACD为正三角形，N为CD的中点，

∴AN⊥CD，又面CDE∩面ACD=CD，

∴AN⊥面CDE，∴CM⊥面CDE，∴面BCE⊥面CDE；

（Ⅱ）解：过C作直线l∥AB，则l∥DE，

∴面ABC∩面EDC=l．

∵AB⊥平面ACD，∴l⊥面ACD，

∴∠ACD即为所求二面角的平面角，为600．

证明：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、DO．

因为△ABC、△BCD都是边长为4的正三角形，

所以AO⊥BC，DO⊥BC，

且AO∩DO=O．

所以BC⊥平面AOD，

又AD⊂平面AOD．

所以BC⊥AD．

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠AOD为二面角A-BC-D的平面角，

设∠AOD=α，则过点D作DE⊥AO，垂足为E．∵BC⊥平面ADO，且BC⊂平面ABC，

∴平面ADO⊥平面ABC，又平面ADO∩平面ABC=AO，

∴DE⊥平面ABC，

∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE=3．

又，

在Rt△DEO中，，

故二面角A-BC-D的正弦值为．

解：（1）在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，E为AD中点，在A1D1上取中点F．连接EF过F作FM⊥A1C1于A1C1上一点M，连接EM，则∠EMF为二面角E-A1C1-D1的平面角．

在△A1C1D1中，FM=B1D1=，又EF⊥FM，EF=1

∴tan∠EMF==2，从而cos∠EMF=．

∴二面角E-A1C1-D1的余弦值为

（2）在平面ABCD内，延长BA到N点，使AN=，故NE∥A1C1，∴NE∥面BA1C1

∴VB-A1C1E=VE-A1BC1=VN-A1C1E=VC1-A1BN

=•（••1）•1=

（3）（文）取DC中点F，连接EF交BD于M点，又E为AD中点，故可知EF∥A1C1，则EF∥面BA1C1，

因此E到平面BA1C1的距离就是M点到平面BA1C1的距离．

在对角面BA1D1D内，过M作MH⊥O1B交OB1于H，

∵A1C1⊥面BB1D1D，则面BD1⊥面BA1C1而MH⊥O1B，则MH⊥面BA1C1，

又∵sin∠DBO1= 故在△MHB中，MH=BM•sin∠DBO1=•=

故E到平面BA1C1之距离为

（4）

在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1连B1D1，则B1D1⊥A1C1，设其交点为O1，连O1B．

则由三垂线定理可知O1B⊥A1C1

∴∠BO1B1为二面角B-A1C1-B1的平面角．

又BB1=1，O1B=，∴tan∠BO1B1=，从而cos∠BO1B1==．

解：①由题意及题中的条件可以画出以下图形，并利用题中条件建立图示的空间坐标系：

设BH=x，AH=y和题中OB=，有图可得图中的各个点的坐标为：H（0，0，0） D（x，0，0） B（-x，0，0） A（0，y，0） C（0，-y，0） O（-x，0，） M（0，0，）

所以利用G为三角形的重心可以得：G（0，），，，，利用BG⊥平面OAD建立方程为：

⇒⇒所以有图知AD=2，在直角三角形OBA中：OA=，故OA=；

②有①建立的空间坐标系可知：

=     

 =

=

设平面OBC的法向量为  则⇒

设平面OCD的法向量为 则⇒

所以，

由法向量的夹角与二面角的夹角之间的关系知道：二面角B-OC-D的平面角的余弦值为．

故答案为：，所求的二面角的平面角的余弦值为．

解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PA⊥BC

∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，

∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，

∵E为AB中点，∴PE⊂平面PAB．

∴BC⊥PE．

（Ⅱ）建立直角坐标系A-xyz，设AB=1，则B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），，，

由（I）知，BC⊥平面PAE，∴是平面PAE的法向量．

设平面PEC的法向量为=（x，y，z），则且

∴，=（2，-1，1）

∴，

二面角C-PE-A的余弦值为．

（Ⅲ）连接AC，设AB=a

∵∴a=2

∵△PAC是直角三角形∴．

解：（1）证明：连接AD1，由长方体的性质可知：

AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在

平面AD1内的射影．又∵AD=AA1=1，

∴AD1⊥A1D

∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）

（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，

∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到

点C1可能有两种途径，

如图甲的最短路程为|AC1|=

如图乙的最短路程为|AC1=

∵x＞1

∴x2+2x+2＞x2+2+2=x2+4

∴∴x=2（9分）

（3）假设存在连接DE，设EB=y，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连接D1H，则∠D1HD为二面角D1-EC-D的平面角，

∴∠D1HD=，

∴DH=DD1=1在R△EBC内，EC=，而EC•DH=DC•AD，

即存在点E，且离点B为时，二面角D1-EC-D的大小为．