立体几何中的向量方法_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，四边形ABCD是边长为的正方形，EC⊥平面CDAB，EF∥CA，点O是AC与BD的交点，CE=EF=1．

（1）求证：AF∥平面BDE；

（2）求证：CF⊥平面BDE；

（3）求二面角A-BE-D的大小．

正确答案

解：（1）连接EO，∵正方形ABCD的边长为，∴其对角线AC=2．

∵EF∥CO，且EF=1，AO=AC=1，

∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE．

又∵EO⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE．

（2）证法一：连接OF，∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥CO，EC⊥CD，EC⊥DB．

又∵EF∥CO，CE=EF=CO=1，∴四边形CEFO是正方形，∴CF⊥EO．

又∵CD=CB=，∴DE=BE．

∵O是BD的中点，∴EO⊥BD．

∵EC∩EO=E，∴DB⊥平面CEFO，∴DB⊥CF．

而EO∩BD=O，∴CF⊥平面BDE．

证法二：由已知条件建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，

可知C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F．

∴，，．

∵，∴CF⊥BE；

∵，∴CF⊥DE．

∵BE∩DE=E，∴CF⊥平面BDE．

（3）设平面BDE的法向量为，∴，，

得，令，则y1=1，x1=1，∴．

设平面ABE的法向量，∵，，

∴=0，．

∴x2=0．令，则y2=1，∴．

∴==．∴．

由图可知二面角A-BE-D的平面角为．

解析

解：（1）连接EO，∵正方形ABCD的边长为，∴其对角线AC=2．

∵EF∥CO，且EF=1，AO=AC=1，

∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE．

又∵EO⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE．

（2）证法一：连接OF，∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥CO，EC⊥CD，EC⊥DB．

又∵EF∥CO，CE=EF=CO=1，∴四边形CEFO是正方形，∴CF⊥EO．

又∵CD=CB=，∴DE=BE．

∵O是BD的中点，∴EO⊥BD．

∵EC∩EO=E，∴DB⊥平面CEFO，∴DB⊥CF．

而EO∩BD=O，∴CF⊥平面BDE．

证法二：由已知条件建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，

可知C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F．

∴，，．

∵，∴CF⊥BE；

∵，∴CF⊥DE．

∵BE∩DE=E，∴CF⊥平面BDE．

（3）设平面BDE的法向量为，∴，，

得，令，则y1=1，x1=1，∴．

设平面ABE的法向量，∵，，

∴=0，．

∴x2=0．令，则y2=1，∴．

∴==．∴．

由图可知二面角A-BE-D的平面角为．

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题型：简答题

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简答题

如图所示的多面体中，EF丄平面AEB，AE丄EB，AD∥EF，BC∥EF，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点

（1）求证：BD丄EG；

（2）求平面DEG与平面DEF所成二面角的大小．

正确答案

（1）证明：∵EF丄平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB

∴EF⊥AE，EF⊥BE

∵AE丄EB，∴EB，EF，EA两两垂直

以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，2），G（2，2，0）

∴，

∴

∴BD丄EG；

（2）解：已知得是平面DEF的法向量

设平面DEG的法向量为，∵，

∴，∴可取

设平面DEG与平面DEF所成二面角θ

∴=

∴平面DEG与平面DEF所成二面角为．

解析

（1）证明：∵EF丄平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB

∴EF⊥AE，EF⊥BE

∵AE丄EB，∴EB，EF，EA两两垂直

以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，2），G（2，2，0）

∴，

∴

∴BD丄EG；

（2）解：已知得是平面DEF的法向量

设平面DEG的法向量为，∵，

∴，∴可取

设平面DEG与平面DEF所成二面角θ

∴=

∴平面DEG与平面DEF所成二面角为．

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题型：单选题

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单选题

已知点A（1，2），B（3，4），C（-2，2），D（-3，3），则向量在向量上的投影为（　　）

A

B

C

D0

正确答案

D

解析

解：根据题意：，

∴，，

∴，

故选D．

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题型：简答题

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简答题

如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB；已知VA=kAB，点E是VC的中点，底面正方形ABCD边长为2a，高为h．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）当k取何值时，∠BED是二面角B-VC-D的平面角，并求二面角B-VC-D的余弦值．

正确答案

解：（I）由题意知B（a，a，0），C（-a，a，0），D（-a，-a，0），

E（，，）由此得：=（），=（）

∴=（3分）

=（5分）

由向量的数量积公式有：

cos＜，＞===（7分）

（II）若∠BED是二面角B-VC-D的平面角，则

∴，（8分）

由C（-a，a，0），V（0，0，h）有=（a，-a，h）

又=（），

∴解得：h=a（10分）

∴cos＜，＞===（12分）

又VA=kAB且AB=2a

从而k=1反之成立（13分）

因此当k=1时，∠BED是二面角B-VC-D的平面角，且二面角B-VC-D的余弦值为．（14分）

解析

解：（I）由题意知B（a，a，0），C（-a，a，0），D（-a，-a，0），

E（，，）由此得：=（），=（）

∴=（3分）

=（5分）

由向量的数量积公式有：

cos＜，＞===（7分）

（II）若∠BED是二面角B-VC-D的平面角，则

∴，（8分）

由C（-a，a，0），V（0，0，h）有=（a，-a，h）

又=（），

∴解得：h=a（10分）

∴cos＜，＞===（12分）

又VA=kAB且AB=2a

从而k=1反之成立（13分）

因此当k=1时，∠BED是二面角B-VC-D的平面角，且二面角B-VC-D的余弦值为．（14分）

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题型：单选题

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单选题

ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A-BD-C，E为CD的中点，∠AED的大小为（　　）

A45°

B30°

C60°

D90°

正确答案

D

解析

解：由题意画出图形，如图，设正方形的边长为2，

折叠前后AD=2，DE=1，连接AC，连接BD，设AC交BD于O，连接OE，

则OE=1，AO=，因为正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，

AO⊥BD，所以AO⊥平面BCD，所以AO⊥OE，

在△AOE中，AE==．又AD=2，ED=1，所以DE2+AE2=AD2，

所以∠AED=90°．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小；

（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由．

正确答案

解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，

∴S梯形BCED=（4+1）×4=10．

∴此几何体的体积V=•S梯形BCED•AC=×10×4=．--------（4分）

（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4），

∴=（0，-4，3），=（-4，4，0），∴=0-16+0=-16，||=5，||=4．

∴cos＜＞===-．

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．

（3）∵点Q在棱DE上，∴存在λ（0＜λ＜1）使得，

∴=+=+λ=（0，0，1）+λ（0，-4，3）=（0，-4λ，1+3λ），

同理．

∵，∴，即0×（-4）+（-4）×（4-4λ）+（3λ+1）2=0，

解得，故满足题设的点Q存在，DQ的长为．

解析

解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，

∴S梯形BCED=（4+1）×4=10．

∴此几何体的体积V=•S梯形BCED•AC=×10×4=．--------（4分）

（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4），

∴=（0，-4，3），=（-4，4，0），∴=0-16+0=-16，||=5，||=4．

∴cos＜＞===-．

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．

（3）∵点Q在棱DE上，∴存在λ（0＜λ＜1）使得，

∴=+=+λ=（0，0，1）+λ（0，-4，3）=（0，-4λ，1+3λ），

同理．

∵，∴，即0×（-4）+（-4）×（4-4λ）+（3λ+1）2=0，

解得，故满足题设的点Q存在，DQ的长为．

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题型：简答题

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简答题

如图，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面边长为2，侧棱长为3，E为BC的中点，FG分别为CC′、DD′上的点，且CF=2GD=2．求：

（Ⅰ）C′到面EFG的距离；

（Ⅱ）DA与面EFG所成的角的正弦值；

（III）在直线BB‘上是否存在点P，使得DP∥面EFG？，若存在，找出点P的位置，若不存在，试说明理由．

正确答案

解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系

则E（1，2，0），F（0，2，2），G（0，0，1）

∴=（-1，0，2），=（0，-2，-1），

设=（x，y，z）为面EFG的法向量，则=0，=0，

⇒x=2z，z=-2y，取y=1，

得=（-4，1，-2）…（4分）

（Ⅰ）∵=（0，0，-1），

∴C’到面EFG的距离为…（6分）

（Ⅱ）=（2，0，0），设DA与面EFG所成的角为θ，

则=． …（10分）

（ III）存在点P，在B点下方且BP=3，此时P（2，2，-3）

=（2，2，-3），∴=0，∴DP∥面EFG．…（14分）

解析

解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系

则E（1，2，0），F（0，2，2），G（0，0，1）

∴=（-1，0，2），=（0，-2，-1），

设=（x，y，z）为面EFG的法向量，则=0，=0，

⇒x=2z，z=-2y，取y=1，

得=（-4，1，-2）…（4分）

（Ⅰ）∵=（0，0，-1），

∴C’到面EFG的距离为…（6分）

（Ⅱ）=（2，0，0），设DA与面EFG所成的角为θ，

则=． …（10分）

（ III）存在点P，在B点下方且BP=3，此时P（2，2，-3）

=（2，2，-3），∴=0，∴DP∥面EFG．…（14分）

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题型：简答题

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简答题

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．

（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切；

（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β的余弦．

正确答案

解：（Ⅰ）证明：由于平面PAD⊥平面ABCD，且AD是平面ABCD和平面PAD的交线，

PA在平面PAD内，∠PAD=90°，

根据两个平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）连接AF，则∠AFE即为α．

直角三角形EAF中，tanα===．

（Ⅲ）设正方形的边长为2，以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，

以AP所在的直线为z轴，建立空间坐标系，

可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0）、F（1，2，0）、E（0，0，1），

∴=（1，2，-1）、=（-2，2，0），∴cosβ===，

故异面直线EF与BD所成的角的余弦为．

解析

解：（Ⅰ）证明：由于平面PAD⊥平面ABCD，且AD是平面ABCD和平面PAD的交线，

PA在平面PAD内，∠PAD=90°，

根据两个平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）连接AF，则∠AFE即为α．

直角三角形EAF中，tanα===．

（Ⅲ）设正方形的边长为2，以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，

以AP所在的直线为z轴，建立空间坐标系，

可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0）、F（1，2，0）、E（0，0，1），

∴=（1，2，-1）、=（-2，2，0），∴cosβ===，

故异面直线EF与BD所成的角的余弦为．

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题型：简答题

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简答题

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E在线段BD上，点F在线段B1C上．

（Ⅰ）若E、F分别为线段BD，B1C的中点，求直线EF与直线C1D1所成的角；

（Ⅱ）若EF⊥BD，EF⊥B1C，求线段EF的长度．

正确答案

解：（Ⅰ）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则C1（0，2，2）D1（0，0，2），E（1，1，0），F（1，2，1），

所以，，…（4分）

…（6分）

又因为直线EF与直线C1D1所成的角范围为

所以直线EF与直线C1D1所成角为…（8分）

（Ⅱ）设E（m，m，0），F（n，2，n），

则，

因为D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C（0，2，0）

所以，…（10分）

由题意得，，，

即，解得…（12分）

所以，，所以，…（14分）

即线段EF的长度为…（16分）

解析

解：（Ⅰ）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则C1（0，2，2）D1（0，0，2），E（1，1，0），F（1，2，1），

所以，，…（4分）

…（6分）

又因为直线EF与直线C1D1所成的角范围为

所以直线EF与直线C1D1所成角为…（8分）

（Ⅱ）设E（m，m，0），F（n，2，n），

则，

因为D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C（0，2，0）

所以，…（10分）

由题意得，，，

即，解得…（12分）

所以，，所以，…（14分）

即线段EF的长度为…（16分）

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题型：简答题

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简答题

如图，在四棱锥P-ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．

求：

（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

（2）四棱锥P-ABCD的体积．

正确答案

解：（1）连接AC，过点C作CF∥AB交AD于点F，因为∠ADC=45°，所以FD=1，从而BC=AF=2，……（2分）

延长BC至E，使得CE=AD=3，则AC∥DE，∴∠PDE（或其补角）是异面直线PD与AC所成角，且DE=AC=，AE=，PE=3，PD=．（5分）

在△PDE中，cos∠PDE=-．…（8分）

所以，异面直线PD与AC所成角的大小为arccos．…（9分）

（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，

∴底面梯形面积为

∵PA⊥平面ABCD，PA=1．

∴四棱锥P-ABCD的体积为．…（6分）

解析

解：（1）连接AC，过点C作CF∥AB交AD于点F，因为∠ADC=45°，所以FD=1，从而BC=AF=2，……（2分）

延长BC至E，使得CE=AD=3，则AC∥DE，∴∠PDE（或其补角）是异面直线PD与AC所成角，且DE=AC=，AE=，PE=3，PD=．（5分）

在△PDE中，cos∠PDE=-．…（8分）

所以，异面直线PD与AC所成角的大小为arccos．…（9分）

（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，

∴底面梯形面积为

∵PA⊥平面ABCD，PA=1．

∴四棱锥P-ABCD的体积为．…（6分）

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