热门试卷

解法一：（Ⅰ） 证明：连接BC1，B1C∩BC1=F，连接EF，

因为AE=EB，FB=FC1，所以EF∥AC1（2分

因为AC1⊄面EB1C，EF⊂面EB1C

所以AC1∥面EB1C（4分）

（Ⅱ）设AC1与ED1交于点G，连DE，

∵AC1∥面EB1C，∴G与C1到平面EB1C的距离相等，设为h，（6分）

则ED1=，． （7分）

∴，点E到平面B1CC1距离为．

又∵，

∴．∴．（10分）

设ED1与面EB1C所成角为α，则．

所以ED1与面EB1C所成角为arcsin． （12分）

解法二：

作DH⊥AB，分别令DH，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，如图建立坐标系┉（1分）

因为∠BAD=60°，AD=2，所以AH=1，，

所以D1（0，0，4），C（0，4，0），，C1（0，4，4）（3分）

（Ⅰ），，（4分）

设面EB1C的法向量为=（x，y，z），所以，

化简得令y=1，则．（6分）

∵，AC1⊄面EB1C，∴AC1∥面EB1C．（8分）

（Ⅱ）设，则．（10分）

设直线ED1与面EB1C所成角为α，则cosθ=cos（α+90°）=-sinα．

即．（11分）

∴直线ED1与面EB1C所成的角的大小为arcsin． （12分）

解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD

∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD

∵CD⊆平面PDC，

∴平面PDC⊥平面PAD；

（2）取AD中点O，连接EO，

∵△PAD中，EO是中位线，∴EO∥PA

∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，

∵AC⊆平面ABCD，∴EO⊥AC

过O作OF⊥AC于F，连接EF，则

∵EO、OF是平面OEF内的相交直线，

∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC

∴∠EFO就是二面角E-AC-D的平面角

由PA=2，得EO=1，

在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=

∵O是AD的中点，∴OF=×=

∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF==

∴cos∠EFO==

（1）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD

所以AB⊥平面PAD…（1分）

又PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB…（2分）

又PD⊥PB，所以PD⊥平面PAB…（3分）

而PD⊂平面PCD，故平面PCD⊥平面PAB…（4分）

（2）如图，建立空间直角坐标系…（5分）

设AD=2a，则A（a，0，0），D（-a，0，0）B（a，2，0），C（-a，2，0），P（0，0，a），E（a，1，0）…（6分）

，

则得，…（8分）

设平面PEC的一个法向量，

由得

令x1=1，则…（9分）

，，

设平面PEC的一个法向量，

由得，

令y2=1，则…（10分）

设二面角E-PC-B的大小为θ，

则…（11分）

故二面角E-PC-B的余弦值为…（12分）

证明：（1）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是等腰梯形，

且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°

∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°

∴AC⊥BC

又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，

∴BC⊥平面ACFE

解：（2）当时，AM∥平面BDF，

以点C为坐标原点，CF所在直线为z轴，CA、CB所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，

则，

AM∥平面BDF⇔与、共面，也等价于存在实数m、n，使=m+n，

设．

∵=（-a，0，0），，0，0）

∴=+=（-at，0，0）

又=（a，-a，-a），=（0，a，-a），

从而要使得：成立，

需，解得∴当时，AM∥平面BDF

（3）B（0，a，0），，

过D作DG⊥EF，垂足为G．令==λ（a，0，0），

=+=（aλ，0，a），=-=（λa-a，a，a）

由得，，

∴

∴，即

∵BC⊥AC，AC∥EF，

∴BC⊥EF，BF⊥EF

∴二面角B-EF-D的大小就是向量与向量所夹的角．

∵=（0，a，-a）

cos＜，＞=，即二面角B-EF-D的平面角的余弦值为．

解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，

则有D（0，3，0）、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2）

于是，=（-4，2，2）

设向量与平面C1DE垂直，则有cosβ=z

∴（-1，-1，2），其中z＞0

取DE垂直的向量，

∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，

∴的平面角

∵cosθ=

∴tanθ=，

∴二面角C-DE-C1的正切值为；

（II）设EC1与FD1所成角为β，则cosβ=，

∴直线EC1与FD1所成的余弦值为．

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PB的射影是AB，PC的射影是AC，

∵PB=PC，∴AB=AC，∴AB=AC=1，且，

∴△ABC是直角三角形，且，…（3分）

∴AC⊥AB，

∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，

∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB…（6分）

（2）解法1：由（1）知AC⊥AB，且ABCD是平行四边形，可知AC⊥CD，

又∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理可知，PC⊥CD，

又∵PC∩AC=C由二面角的平面角的定义可知，∠PCA是平面PDC与底面ABCD所成二面角，故，

故在Rt△PAC中，AC=1，∴，PC=2，

从而，

又在Rt△ABC中，，∴在等腰三角形△FAE，

分别取AC中点N和AE中点M，连接FN，FM和MN，

∴中位线FN∥PA，且PA⊥平面ABCD，∴FN⊥平面ABCD，

在△AEF中，中线FM⊥AE，由三垂线定理知，MN⊥AE，∠FMN为二面角F-AE-C的平面角，

在Rt△FMN中，，，，，

∴二面角F-AE-C的大小为．

解法2：由（Ⅰ）知，以点A为坐标原点，以AB、AC、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA=λ，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，λ），D（-1，1，0），，，则，，

设平面PCD的一个法向量为，

则由得，取

又是平面ABCD的一个法向量，

平面PDC与底面ABCD所成二面角为，

解得，

设平面FAE的一个法向量为，

则由得，取．

又是平面AEC的一个法向量，

设二面角F-AE-C的平面角为θ，则，

∴∴

∴二面角F-AE-C的大小为．…（12分）

（1）证明：以BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），，C（0，1，0），，，

∴，，

∴，

即，，而BE∩BD=B，

∴AC⊥平面BDE；

（2）解：设平面AC1D的一个法向量是，

则由，∴

令x=1，则，

又平面AA1D的一个法向量是，

∴

∴，

由图可知二面角为锐角，故A1-AD-C1的大小为60°．

解：（I）CM与BN交于F，连接EF．

由已知可得四边形BCNM是平行四边形，

所以F是BN的中点．

因为E是AB的中点，

所以AN∥EF．…（7分）

又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，

所以AN∥平面MEC．…（9分）

（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．

又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，

如图建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，-1，h），

=（，-2，0），=（0，-1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．

则，∴，

令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），

∴cos＜，＞===，解得h=，

∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P-EC-D的大小为．

解：（I）由题意知B（a，a，0），C（-a，a，0），D（-a，-a，0），E，

由此得，

∴，．

由向量的数量积公式有．

（II）若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，则，即有=0．

又由C（-a，a，0），V（0，0，h），有且，

∴，即，

这时有．

∴．