热门试卷

（1）证明：设M为BC中点，连PM，DM  依题意，

∵P、M分别为AB、BC的中点，∴

∴，…（3分）

∴四边形PMDE为平行四边形，∴EP∥DM

又DM⊂平面DBC，PE⊄平面DBC，

∴PE∥平面DBC…（5分）

（2）解：以点O为原点，直线OA、OB、OD所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设|AE|=2，则A（2，0，0）、B（0，2，0）C（-2，0，0）、

D（0，0，2）、E（2，0，2）、P（1，1，0）…（6分）

∴、、…（7分）

设平面PBC的法向量为，

则由，得，…（9分）

令x=1，则y=z=-1，∴，

∴cos＜，＞==，

∴直线DA与平面DBC所成角的正弦值为．…（12分）

解：（1）证明：分别以AE，AB，AD所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系如图

∵AB=AE=2∴AD=BC=CD=2B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2），E（2，0，0），

∴从而得F（1，1，1）

∵

∴BF⊥DE

（2）解：设平面EBC的法向量为

由得，

取x=1

平面EBC的一个法向量为=（1，1，0）

设直线ED与平面EBC所成角为α

∴

∴α=30°

解：（1）以A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向，AB的长度为单位长度建立空间直角坐标系．

由题设知点A，A1，D，E，M的坐标分别为．

∴=（0，0，2），，=

∴=0

∴AA1⊥DE，DE⊥AM，AM∩AA1=A，AM⊂平面AMA1，AA1⊂平面AMA1∴DE⊥平面AMA1

（2）取AA1的中点F，连DF，EF

∴DF=∥AB=1，EF=∥AC=1∴DF⊥AA1，DF⊥EF

又AA1∩EF=F，AA1⊂平面AA1E，EF⊂平面AA1E

∴DF⊥平面AA1E∴====

（3）以A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向，AB的长度为单位长度建立空间直角坐标系．

由题设知点A，A1，D，C，E的坐标分别为（0，0，0），（0，0，2），（1，0，1），（0，1，0），（0，1，1）．

∴=（0，1，-1），，=（0，1，0）

设平面A1DE的法向量为，取x=1，得．

∵AB⊥AC，AA1⊥AC，

∴AC⊥平面A1DA．

结合图象知二面角A-DA1-E的余弦值是．

解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AC，-----（2分）

∵AB⊥AC，PA∩AB=A．----（4分）

∴AC⊥平面PAB，

∴PB⊥AC．------（6分）

（Ⅱ）过点E作EO⊥AD于点O，则EO⊥平面ABCD，

∴EO⊥AC．

过点O作OG⊥AC于G，则AC⊥平面EOG．------（8分）

则∠EGO即是所求二面角的平面角的补角．-------（10分）

设PA=3，在直角三角形EOG中，EO=1，OG=2，EG=

∴cos∠EOG==．----（13分）

∴二面角E-AC-B的余弦值是-．-----------（14分）

（1）证明：∵AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，

∴DC⊥平面PAD，

∵PA⊂平面PAD，∴DC⊥PA，

∵PA⊥PD，PD∩DC=D，∴PA⊥平面PDC，

又∵DE⊂平面PDC，

∴PA⊥DE；

（2）过P点作AD的垂线交AD于点O，连接OB，

以O点为坐标原点，OB为x轴正向，OD为y轴正向，OP为z轴正向，建立空间直角坐标系，

如图所示：

则：A（0，-1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（x，y，z），

∴=（1，1，-1），=（1-x，1-y，-z），

由，得，∴E（1-λ，1-λ，λ），

显然，面ABD的一个法向量为=（0，0，1），

设面EBD的法向量为=（x，y，z），

则=（-1，1，0），=（-λ，1-λ，λ），

∴，则，，则，

由二面角E-BD-A的余弦值为-，得|cos＜＞|=，即||=||=，

又λ∈（0，1），∴解得；

解：如图所示，取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC，∵BC⊥AC，∴DE⊥AC；

又A1D⊥平面ABC，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系；

设DA1=t，（t＞0），则A（0，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），A1（0，0，t），C1（0，2，t）；

（Ⅰ）证明：，；

∴，∴，∴AC1⊥CB，又AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BC；

（Ⅱ）因为，，由BA1⊥AC1得t2=3，∴；

∴；

设平面A1BB1的一个法向量为，则，∴，∴可取；同理：

可求得平面A1BC1的一个法向量为，∴；

所以，二面角B1-A1B-C1的余弦值为．

（1）证明：连接BD交AC于O，

在矩形BDD1B1中，O是BD的中点，H是BB1的中点

∴，∴∠HDB=∠DD1O，∴

∵AC⊥平面BDD1B1，DH⊂平面BDD1B1，

∴AC⊥DH

∵AC∩D1O=O

∴DH⊥面D1AC，

又∵D1E⊥面D1AC，∴DH∥D1E；

（2）解：由（1）知DH∥D1E，

∵DD1∥EH，∴四边形DD1HE是平行四边形

∴EH=DD1=2，∴BE=3

∵AB∥CD，∴三棱锥A-CDE的体积等于三棱锥B-CDE的体积，等于三棱锥D-BCE的体积

∵∠BAD=60°，AB=2，∴D到平面BC1的距离为

∴D-BCE的体积等于=

∴三棱锥A-CDE的体积等于；

（3）解：建立如图所示的直角坐标系，则A，B（0，1，0），C（-，0，0），D（0，-1，0），D1（0，-1，2）

设E（0，1，2+h），则=

∵D1E⊥面D1AC，∴D1E⊥AC，D1E⊥D1A

∴2-2h=0，∴h=1，即E（0，1，3）

∴

设平面EAC的法向量为

由，可得，令z=-1，则

∵平面D1AC的法向量为=（0，2，1）

∴cos＜＞===

∴二面角E-AC-D1的大小为45°．

解：（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，

∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD

∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点

∴EO∥PA

又∵PA⊥面ABCD，

∴EO⊥面ABCD

∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥EO

又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线

∴AC⊥面BED（6分）

（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得

∴（8分）

设是平面ABE一个法向量

由，解得，

所以取x1=1，，，可得，

因为PA⊥平面ABC，所以向量即为平面ABC的一个法向量，设=（10分）

∴

根据题意可知：二面角E-AB-C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n1，n2＞|=

∴二面角E-AB-C的平面角的余弦值为．（12分）