热门试卷

（Ⅰ）证明：∵该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

∴BA，BC，BB1两两垂直．

以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．--------------（2分）

则B（0，0，0），N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）．

∴，．------------（4分）

∴NB⊥NB1，BN⊥B1C1．

又NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1NB1．-------------------（6分）

（Ⅱ）解：∵BN⊥平面C1NB1，∴是平面C1B1N的一个法向量，------------（8分）

设为平面NCB1的一个法向量，则，∴

所以可取．------------（10分）

则cos==

∴所求二面角C-NB1-C1的余弦值为．------------（12分）

（1）证明：∵D1是线段A1B1上一动点（可以与A1或B1重合）．过D1和CC1的平面与AB交于D，四边形CDD1C1总是矩形，

∴CC1⊥平面ABC

∴三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱…（5分）；

（2）解：建立如图所示的直角坐标系，则A（0，-，0），C（，0，0），

设D（0，a，0），则D1（0，a，1），a∈[-，]，

显然平面BAD1的一个法向量为，

设平面ACD1的一个法向量为

∵，

∴

∴

令x=1，∴y=-1，z=

∴平面ACD1的一个法向量，于是，

设二面角B-AD1-C的平面角为θ，∴cosθ=═

∵，2=2+（a+）2∈[2，5]，

∴cosθ∈[，]，

所以θ∈[arccos，]…（12分）

解：（I）∠BAC=∠BAD=

∴BA⊥面ACD

∴AB⊥CD

（II）（1）

∴==

∴

（2）以AC 所在的直线为y轴AB所在的直线为y轴建立空间直角坐标系，则

（0，0，0），B（0，0，4），C（0，8，0）D（8，6，0）

∴平面ABC的法向量为

设平面BCD的法向量为

又，

∴

解得

∴

∴

设二面角A-BC-D为α

∴

证明：（I）在△AA1B中，

∵D，E分别是AB，AA1的中点，

∴DE∥BA1，

又∵DE⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，

∴DE∥平面A1BC1．

∵AA1=2，CC1=1，E分别是AA1的中点，

∴EA1=CC1，

又∵CC1∥AA1，∴四边形ECC1A1是平行四边形，

∴EC∥A1C1．

而EC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，

∴EC∥平面A1BC1，

∵ED∩EC=E，ED，EC⊂平面DEC，

∴平面DEC∥平面A1BC1．

∴BC1∥平面CDE；

（II）∵AA1⊥平面ABC，

∴可以建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，1），A（0，0，0）．

不妨设AC=4a（a＞0），

∵AB⊥BC，AB=BC，D是AB的中点．

则C（0，4a，0），B（2a，2a，0），D（a，a，0）．

∴，．

设平面CDE的法向量为，则

令y=1，则x=3，z=4a．

∴．

∵AA1⊥平面ABC，

∴可 取作为平面ABC的法向量．

∴===，

∴==，

∴=．

解：（I）∵MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，∴MB∥平面DNC．

∵四边形AMND为矩形，∴MA∥DN．

又∵MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC，∴MA∥平面DNC．

∵MA、MB是平面AMB内的相交直线，

∴平面AMB∥平面DNC．

又∵AB⊂平面AMB，∴AB∥平面DNC．    …（5分）

（Ⅱ）∵平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND⊥平面MBCN=MN，DN⊥MN，

∴DN⊥平面MBCN，

而MN⊥NC，故以点N为坐标原点，NM、NC、ND分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．

由已知得MC=，∠MCN=30°，易得MN=，NC=3．

则D（0，0，3），C（0，3，0），B（，4，0）．

∴=（0，3，-3），=（，1，0）．

设平面DBC的法向量=（x，y，z），则

，即

令x=-1，则y=z=，可得=（-1，，）．

又∵=（0，0，1）是平面NBC的一个法向量，

∴cos＜，＞==．

故所求二面角D-BC-N的余弦值为．…（12分）

解：建立空间坐标系，

（1）

，

所以AC⊥BF．（5分）

（2）平面ABD的法向量，

平面FBD的法向量

（3）解1设AC与BD交于O，则OF∥CM，所以CM∥平面FBD，

当P点在M或C时，三棱锥P-BFD的体积的最小．

（14分）

解2设AC与BD交于O，则OF∥CM，所以CM∥平面FBD，

当P点在M或C时，三棱锥P-BFD的体积的最小．

，

平面FBD的法向量

点C到平面FBD的距离．（14分）

（1）证明：∵PA丄面ABCD，CD⊂面ABCD，∴PA丄CD

∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD

∵PA∩DA=A，∴CD⊥平面PAD

∵CD⊂平面PCD

∴面PFD丄面PAD；

（2）建立如图所示的直角坐标系，

则，=（2，1，0），

设平面APE的一个法向量为，则，∴可取

设平面PDF的一个法向量为，∵

∴，∴可取

∴===-

∴面PAE与面PFD所成的锐二面角为arccos．

（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），E（0，1，1），B（1，2，0），C（0，2，0）．

∴=（0，1，1），=（-1，-1，1），=（0，1，-1）．∴=0-1+1=0，=0+1-1=0．

∴，．

即DE⊥BE，DE⊥EC，而BE∩EC=E．

∴DE⊥平面EBC；

（2）时平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，令y=-1，则z=1，x=2．

∴=（2，-1，1）．

取平面BCD的法向量．

则===．

从图形上看，二面角E-DB-C的平面角为锐角，∴=．

∴tan==．

即二面角E-DB-C的正切值为．