热门试卷

解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，

所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．

又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．

而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．

又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．

（2）如图1，

在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．

由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．

又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．

所以DG⊥DF，DG⊥DB

故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，

设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，

在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，

则 tan=tan∠DPF===，解得．

所以==

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．

（解法2）

（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，

则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，-1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），

于是=0，即PB⊥DE．

又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．

因=（0，1，-1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．

（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；

由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（-λ，-1，1）是平面DEF的一个法向量．

若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，

则运用向量的数量积求解得出cos==，

解得．所以所以==

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．

解：（Ⅰ）因为SB=SC，O为BC中点，所以SO⊥BC

而平面平面SBC⊥平面ABC，平面SBC∩平面ABC=BC，所以SO⊥平面ABC，

以OB、OA、OS为x，y，z轴建立直角坐标系，得B（，0，0），A（0，，0），S（0，0，），C（-，0，0），

∴，，

设平面SAC的法向量为

∴，∴，可取

而，故点B到平面SAC的距离d=||=

（Ⅱ）由已知得平面SBC的法向量=（0，1，0），平面SAC的法向量=（-1，1，1）

∴二面角A-SC-B的余弦值等于==．

（Ⅰ）证明：以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（4，4，0），

C（0，8，0），E（0，0，4），F（0，8，4），

∵，

，

∴BD⊥BC，BD⊥CF，且BC与CF相交于C，

∴BD⊥平面BCF．（3分）

（Ⅱ）解：∵BD⊥平面BCF，是平面BCF的一个法向量，

设平面BCE的一个法向量，

则⇒　取=（1，1，2），

则cosθ===． （6分）

（Ⅲ）解：∵M（2，0，0），设P（0，0，a），（0≤a≤4），P为DE上一点，

则，

∵MP∥平面BCE，

∴⇒=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0⇒a=1．

∴当DP=1时，MP∥平面BCE．（9分）

（I）证明：连接B1C与BC1相交于O，连接OD

在△CAB1中，∵O，D分别是B1C，AC的中点，

∴OD∥AB1

∵AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，

∴AB1∥平面BDC1；

（Ⅱ）证明：直棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC

∵BD⊂平面ABC，∴AA1⊥BD

∵AB=BC=2，D为AC的中点，∴BD⊥AC

∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C1C

∴BD⊥A1C①

∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B

∴A1B1⊥平面B1C1CB

∴A1B1⊥BC1

在正方形B1C1CB中，BC1⊥B1C，

∵B1C，A1B1⊂平面A1B1C，B1C∩A1B1=B1

∴BC1⊥平面A1B1C

∴BC1⊥A1C②

由①②，∵BD∩BC1=B，BD，BC1⊂平面BDC1，

∴A1C⊥平面BDC1；

（Ⅲ）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则=（-2，-2，0），=（1，0，1）

设平面BC1D的法向量=（x，y，z），则由，可得，∴可取=（1，1，-1）

∵平面BC1A的法向量=（2，2，0）

设二面角A-BC1-D的平面角为θ，则cosθ=cos＜＞=

∴．

证明：（1）四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE．

∴EO为△ABD1的中位线∴EO∥BD1…（2分）

又∵EO⊂平面A1DE∴BD1∥平面A1DE  …（4分）

（2）由已知可得：AE⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1

∴AE⊥A1D，

又∵A1D⊥AD1，AE∩AD1=A

∴A1D⊥平面AD1E，D1E⊂平面AD1E

∴A1D⊥D1E…．（4分）

解：（3）由题意可得：D1D⊥平面ABCD，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），

设E（1，y0，0）（0≤y0≤2），

∵

设平面D1EC的法向量为=（x，y，z）则，得 

取=（2-y0，1，2）是平面D1EC的一个法向量，而平面ECD的一个法向量为=（0，0，1），要使二面角D1-EC-D的大小为，

而

解得：，当AE=时，二面角D1-EC-D的大小为…（6分）

解：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°

∴AB=AD=AC=1，

∵在△PAB中，PA=AB=1，PB=，

∴PA2+AB2=PB2，

∴PA⊥AB

同理，在△PAD中，可证PA⊥AD，

∵AB∩AD=A

∴PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）以A为原点，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，直线AD、AP分别为y、z轴建立空间直角坐标系，

如图，则A（0，0，0），B（，-，0），C（，，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（0，，），

则，=（0，，），

设平面EAC的法向量为=（x，y，z），

由得，

令x=1，则y=，z=2，故，

易知，平面DAC的法向量为=（0，0，1），

设二面角E-AC-D的大小为θ（θ为锐角），

由cosθ=|cos|=，得

cosθ==，故．

（Ⅲ）设点F是棱PC上的一点，

且=，其中0＜λ＜1，

又，则，

由（Ⅱ）可知，平面EAC的法向量为=（1，-，2），

要使BF∥面EAC，需满足，则，

∴=0，

解得，故F为棱PC的中点时，，

此时F（），=（），

∴PF的值为||=．

解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=，DE=1，

∴AD2=DE2+AE2，

∴∠AED=90°，即AE⊥CD．

∵AB∥CD，∴AE⊥AB．

∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

∴PA⊥AE．

∵PA∩AB=A，∴AE⊥平面PAB，

∵AE⊂平面AEF，

∴平面AEF⊥平面PAB．…（6分）

（Ⅱ）解法一：由（1）知AE⊥平面PAB，而AE⊂平面PAE，

∴平面PAE⊥平面PAB，…（6分）

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

由（Ⅰ）知AE⊥CD，又PA∩AE=A，

∴CD⊥平面PAE，又CD⊂平面PCD，

∴平面PCD⊥平面PAE．

∴平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面…（8分）

所以，∠APE就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角．…（9分）

在RT△PAE中，PE2=AE2+PA2=3+4=7，即．…（10分）

∵PA=2，∴．

所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）

（Ⅱ）解法二：以A为原点，AB、AE分别为x轴、y轴的正方向，

建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．

因为PA=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，，0）、C（1，，0），

则，，，…（7分）

由（Ⅰ）知AE⊥平面PAB，

故平面PAB的一个法向量为，…（8分）

设平面PCD的一个法向量为，

则，即，令y=2，

则．…（10分）

∴==．

所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）

解：（Ⅰ） 取AC的中点0，连结OS、OB．

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥OB．

又∵平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩ABC=AC，

∴SO⊥平面ABC．

以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示

可得A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），

M（1，，0），N（0，，）．

∴=（-4，0，0），=（0，2，-2）．

∴•=-4×0+0×2+0×（-2）=0，

可得⊥，即AC⊥SB；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（-1，0，）

设=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，，

取z=1，得x=，y=-，所以=（，-，1）．

又∵=（0，0，2）为平面ABC的一个法向量，

∴cos＜，＞===，

可得sin＜，＞==，tan＜，＞=2，

即二面角二面角N-CM-B的正切值为2．