热门试卷

解：（1）由图形可得CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD．下面证明AB⊥平面BCD：

在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=1，∴AC=

在△ACD中，CD=1，AC=，AD=，∴AD2=AC2+DC2，∴AC⊥CD

∵BC⊥CD，AC∩BC=C

∴CD⊥平面ABC

∵AB⊂平面ABC

∴CD⊥AB

∵AB⊥BC，BC∩CD=C

∴AB⊥平面BCD；

（2）以C为原点，BC所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系

则A（1，0，1），B（1，0，0），C（0，0，0），D（0，1，0），E（），F（）

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），直线BD与平面BEF所成的角为θ

∵=（），=（）

∴，∴可取=（1，0，1）

∵=（-1，0，1）

∴sinθ===．

∵

∴θ=

（1）证明：连结BD，交AC于点M，连结EM，

∵AB∥DC，AB=CD，

∴=…（1分）

又∵=，∴       …（2分）

∴在△BPD中，EM∥PD．

∵PD不包含于平面EAC，EM⊂平面EAC

∴PD∥面EAC …（5分）

（2）解：由已知可以A为坐标原点，分别以AB，AP为y轴，Z轴建立空间直角坐标系，

设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），C（a，a，0），B（0，a，0），P（0，0，a），E（0，，）

设=（x，y，1）为平面EAC的一个法向量，

则，

解得x=，y=-，∴=（，-，1）．        …（9分）

同理可得平面PBC的一个法向量=（0，1，1）…（11分）

∴cos＜，＞==   …（13分）

∴二面角A-CE-P的余弦值为．  …（14分）

证明：（Ⅰ）∵PO⊥平面BCD，∴PO⊥BC

∴平面PCD⊥平面BCD

又∵BC⊥CD

∴BC⊥平面PCD∴BC⊥PD

又∵BP⊥PD∴DP⊥平面PCB

∴DP⊥CP                 …（7分）

（Ⅱ）解法一：

作CF⊥PB，F为垂足，∴DP⊥平面PCB∴平面PBD⊥平面BCP

∵CF⊥平面PDB，∴∠CDF是CD与平面BDP所成的角，

在Rt△PBC中，∴∠BCP=90°，，∴，∴CF•BP=BC•CP，∴，

在Rt△CDF中，

∴CD与平面BDP所成的角的正弦值为…（14分）

解法二：

由题意知 DC=6DP⊥CP

∴DO=2OC=4

如图，以平行于BC的直线为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，

则O（0，0，0），，D（0，-2，0），C（0，4，0），

∴，

设平面PBD的法向量为，

则 且

令y=1，则，，∴

记CD与平面BDP所成的角为θ则  =

∴CD与平面BDP所成的角的正弦值为…（14分）

（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），B1（0，0，1），．

∴，，，=．

设平面AB1C的法向量为，则，令x=1，则y=z=1，∴．

同理可得平面BDB1的法向量=（1，-1，0）．

∵=1-1+0=0，∴．

∴平面BDB1⊥平面AB1C；

（2）解：由（1）可知：平面AB1C的法向量．

取平面ABB1的法向量为，

∴===．

∴==．

∴==

二面角C-AB1-B的大小的正切值=．

解：如图，以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CG为z轴建立空间直角坐标．

则依题意，有C（0，0，0），B（4，0，0），E（4，2，0），

F（2，4，0），D（0，4，0），G（0，0，2）．

（1）=（4，0，0），=（4，2，-2），

∴

∴…（4分）

（2）由题意可知，平面BCG的单位法向量=（0，1，0），

设平面BDG的单位法向量为=（x，y，z），

∵=（-4，0，2），=（0，-4，2），

得，∴，或，

取

∴．…（8分）

（3）∵四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，

∴EF∥BD且EF与BD间的距离为，

又

∴．

又GC⊥平面ABCD，所以GC为三棱锥G-DEF的高，

∴．…（12分）

（Ⅰ）证明：设BD的中点为O，∠BAD=90°，∠ABD=45°，∴∠BDA=45°，即AB=AD，∴AO⊥BD．

∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥面BCD．

以过O点垂直于BD的直线为x轴，以直线BD为y轴，以直线OA为z，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设．

∴，

∴，，

∴，．

∵0°＜α，β≤90°，∴α=β．…6分

（Ⅱ）解：设分别是平面ABC、平面ACD一个法向量，

∴，即，

∴，不妨取，得．

同理可求得，

∴，

所以二面角B-AC-D的余弦值的绝对值为．…12分．

（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BED，BE⊂平面BED，∴AB⊥BE

∵AB∥CD，∴BE⊥CD

∵BE⊥ED，∴DF⊥BE

∵CD∩DF=D，∴BE⊥平面CDF

∵BE⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面CDF；

（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，

则A（4，0，4），B（4，0，0），C（0，8，2），G（0，6，1），则

，=（-4，6，-3）

设平面ABC的法向量为，则，∴可求

∴AG与平面ABC所成角的正弦值为||==

∴AG与平面ABC所成角的余弦值为．

解：（Ⅰ）当E为PB的中点时，CE∥平面PAD．

证明如下：取PA的中点F，连接DF，EF，则EF∥，．

由已知CD，CD=，则EF∥CD，EF=CD．

∴四边形DFEC是平行四边形，∴CE∥DF．

又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，∴CE∥平面PAD；

（Ⅱ）取AD中点O，AB的中点G，连接OP，OG，

∵PA=PD，∴PO⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PO⊥平面ABCD．

由已知可得AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，

又OG∥BD，∴OG⊥AD，

∴OA，OG，OP两两互相垂直，

故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．

A（），P（0，0，），B（），E（），

D（），C（，，0）．

∴，

是平面ABCD的一个法向量，

设AE与底面ABCD所成角为θ，则

sinθ=|cos|==；

（Ⅲ）平面APD的一个法向量为，

，=（，，-）．

再设平面PCD的一个法向量为，

由，得，

取z=1，则x=-1，y=-1，

∴．

∴二面角A-PD-C的余弦值的绝对值为=．

∴二面角A-PD-C的正弦值为．

解（Ⅰ）证明：取AB中点E，连接ME，CE，则有ME与NC平行且相等．

∴四边形MNCE为平行四边形，MN∥CE

∵AA1⊥面ABC，CE⊂面ABC

∴AA1⊥CE，∴MN⊥AA1．

（Ⅱ）以AB，AA1为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系如

设是平面ABN的一个法向量，则

∴，令y=1∴

设MN与面ABN所成角为θ

则

，

化简得3λ2+5λ-2=0，λ=-2或

由题意知λ＞0，∴．