热门试卷

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BD，

∵PC⊥平面BDE，

∴PC⊥BD，又PA∩PC=P，

∴BD⊥平面PAC，

（2）解：由（1）可知BD⊥平面PAC，而AC⊂平面PAC，

∴BD⊥AC，而ABCD为矩形，

∴ABCD为正方形，∴AB=AD=2，

以A点为原点，AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-BDP，

如图示：

则M（0，0，2）、D（0，2，0）、C（2，2，0），

平面BED的一个法向量为==（2，2，-1），=（0，2，-2），

设=λ，=+λ=（2-2λ，-2λ，λ），•=0，

λ=，=（，-，），

设平面MDE的一个法向量为={x，y，z}，

则，∴，

令z=5，∴=（2，5，5），

∴cos＜，＞===，

∴二面角 B-ED-M的余弦值为：-．

（I）证明：连接AB′，A′B

由题设知侧面ABB′A′为正方形，∴AB′⊥A′B，

又CB⊥AB，CB⊥BB′，AB∩BB′=B

∴CB⊥侧面ABB′A′，∴CB⊥AB′∴FB⊥AB′

∵A′B∩FB=B

∴AB′⊥面A′FB

∵A′F⊂面A′FB

∴A′F⊥AB′

（II）设AE=x，则BE=a-x

∴三棱锥B′-BEF的体积为，当且仅当x=时取等号，此时E、F分别为AB与BC的中点． 

以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB′为z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（a，0，0），C（0，a，0），B′（0，0，a），E（），F（0，，0）

为平面BB′F的一个法向量，且=（a，0，0），

设平面EB′F的法向量为

由得

取z=1，则

∴cosθ==．

（Ⅰ）证明：因为G、H分别是CE、CF的中点，

所以EF∥GH，

因为EF⊄平面BDGH，GH⊂平面BDGH，

所以EF∥平面BDGH，①

连接AC与BD交与O，

因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点

连OG，OG是三角形ACE的中位线，

所以OG∥AE，

因为AE⊄平面BDGH，OG⊂平面BDGH，

所以AE∥平面BDGH，

由①②知，平面AEF∥平面BDGH，

所以BH∥平面AEF；

（Ⅱ）解：BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，所以BF⊥平面ABCD---------（5分）

取EF的中点N，ON∥BF，所以ON⊥平面ABCD，

如图建系，设AB=2，BF=t，则B（1，0，0），C（0，，0），F（1，0，t（，H（）

所以=（1，0，0），=（），

设平面BDGH的法向量为=（x，y，z），则，

所以=（0，-t，），

平面ABCD的法向量=（0，0，1），

因为平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，

所以|cos＜，＞==，所以t2=9，t=3，

所以=（1，-，3），

设直线CF与平面BDGH所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．

解：（1）延长A1M，与AB的延长线交于点O，连接OD，过B作BE⊥DO，垂足为E，连接ME，则ME⊥DO

∴∠MEB为平面A1DM与平面ABCD所成的锐二面角的平面角

∵M为棱BB1的中点，棱长为2，

∴MB=1

∵DO•BE=AD•BO

∴

∴tan∠MEB==

∴所求二面角的大小为arctan；

（2）过点B做BF⊥ME，

由（1）知DO⊥平面MBE

∵DO⊂平面A1DM

∴平面A1DM⊥平面MBE

∵BF⊥ME，平面A1DM∩平面MBE=ME

∴BF⊥平面A1DM

∴BF为点B到平面A1DM的距离，

∵，MB=1

∴ME=

∵ME•BF=MB•BE

∴BF===．

证明：以为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．…（1分）

（1）不妨设AP=a，则P（0，0，a），E（1，1，0），D（0，2，0），

从而，…（5分）

于是•=（1，1，-a）•（1，-1，0）=0，

所以，所以PE⊥DE…（6分）

（2）解：设BE=x，则P（0，0，1），E（1，x，0），D（0，2，0），

则…（8分）

向量为平面AED的一个法向量．设平面PDE的法向量为，

则应有即解之得c=2b，令b=1，则c=2，a=2-x，

从而，…（10分）

依题意=，即，解之得（舍去），

所以点E在线段BC上距B点的处．…（12分）

解：（1）∵正△ABC的边长为3，且==

∴AD=1，AE=2，

△ADE中，∠DAE=60°，由余弦定理，得

DE==

∵AD2+DE2=4=AE2，∴AD⊥DE．

折叠后，仍有A1D⊥DE

∵二面角A1-DE-B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE

又∵平面A1DE∩平面BCDE=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE

∴A1D丄平面BCED；

（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°

如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P

由（1）得A1D丄平面BCED，而PH⊂平面BCED

所以A1D丄PH

∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，

∴PH⊥平面A1BD

由此可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°

设PB=x（0≤x≤3），则BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=x

在Rt△PA1H中，∠PA1H=60°，所以A1H=，

在Rt△DA1H中，A1D=1，DH=2-x

由A1D2+DH2=A1H2，得12+（2-x）2=（x）2

解之得x=，满足0≤x≤3符合题意

所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=．

解：（1）如图建立空间直角坐标系O-xyz，如图

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），E（0，，1），

=（2，1，0），

=（0，，1），=（2，0，0），

设AB与平面AEC所成的角为α，平面AEC的一个法向量=（x，y，z），

则，所以，取y=-2，=（1，-2，1），

sinα=|cos＜＞|=；

（2）设，则F（0，），=（0，），

令平面AFC的一个法向量为=（a，b，c），

则，即

，取b=-2，得=（1，-2，λ），

由tanθ=得cosθ==|cos＜＞|=，

所以3λ2-10λ-5=0，所以λ=，

又λ＞0，所以λ=，即．

解：在平行四边形ABCD中，∵AB=2，AD=1，∠BAD=120°，

∴CA⊥AD，又SA⊥平面ABCD，

∴以A为坐标原点，AC，AD，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），，D（0，1，0）

∵，

∴

∴

（Ⅰ）∵SE=3ED

∴

∵

∴

∴SD⊥平面AEC

（Ⅱ）∵AC⊥平面SAD，SA⊥底面ABCD，

∴AC⊥AE，AC⊥SA

∴∠SAE为二面角S-AC-E的平面角，即∠SAE=30°，此时E为SD的中点

设平面CDE的法向量为

计算可得，

∴

即直线AE与平面CDE所成角的正弦值为．