热门试卷

解：（1）如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），

A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0）

①∵=（0，2，-2），=（2，2，0）

∴c0s＜＞===

∴＜＞=60°

∴异面直线PC与BD所成的角为60°

②由①知=（0，0，2），=（2，2，0），=（2，0，0），=（0，2，-2）

设平面DPB的法向量=（x1，y1，z1），平面CPB的法向量=（x2，y2，z2）

∵，，，

∴，，，

即，

∴取=（1，-1，0），=（0，1，1）

∴cos＜，＞==-

又∵二面角D-PB-C为锐角，∴二面角D-PB-C的余弦值为．

③假设在PB上存在E点，使PC⊥平 面ADE，记=

∵=（2，2，-2），∴=（2λ，2λ，-2λ），∴E（2λ，2λ，2-2λ）

∴=（2λ-2，2λ，2-2λ），若PC⊥平面ADE，则有PC⊥AE，

即=8λ-4=0∴，E（1，1，1）

又∵AD⊥面PDC，∴PC⊥AD，∴PC⊥平面ADE．

∴存在E点且E为PB的中点时，PC⊥平面ADE．

（2）依题意P（0，0，m）

∵PD⊥AC，BD⊥AC，∴AC⊥平面PBD

∴=（-2，2，0）为平面PBD的一个法向量

=（-2，0，0），=（0，2，-m）

设平面PBC的法向量为=（a，b，c）

则

∴，取=（0，m，2）

∵|cosθ|=|cos＜＞|=||=

∵θ＜60°，∴|cosθ|=cosθ＞

∴＞，解得m＞2

∴m的取值范围为（2，+∞）

（1）证明：在正方形ADD1A1中，因为CD=AD-AB-BC=5，

所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．

因为AB=3，BC=4，所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC．

因为四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1，所以AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，

所以AB⊥平面BCC1B1；

（2）解：因为AB⊥平面BCC1B1，所以AB为四棱锥A-BCQP的高．

因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，

所以梯形BCQP的面积为SBCQP=（BP+CQ）×BC=20．

所以四棱锥A-BCQP的体积VA-BCQP=SBCQP×AB=20．

（3）解：由（1）、（2）可知，AB，BC，BB1两两互相垂直．以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，

则A（0，0，3），B（0，0，0），C（4，0，0），P（0，3，0），Q（4，7，0），

所以=（0，3，-3），=（4，7，-3），

设平面PQA的一个法向量为=（x，y，z）．

则•=0，•=0，即．

令x=-1，则y=z=1，所以=（-1，1，1）．

∵平面BCQ的一个法向量为=（0，0，1）．

设平面PQA与平面BCQ所成锐二面角为θ，则cosθ=cos＜，＞==．

∴平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值为

∴二面角A-PQ-C的大小为arccos．

（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，F为BC的中点，

∴AF⊥BC，AF⊥BB1，

∴AF⊥面B1FE，

∵B1F⊂面B1FE，

∴B1F⊥AF，

设AB=1，∵AB=AA1，

∴AB=AA1=AC=BB1=1，BF=CF=，

∴=，EF==，=，

∴=，

∴B1F⊥EF，

所以B1F⊥平面 AEF．

（2）以AB为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，

则A（0，0，0），B1（1，0，1），F（，，0），E（0，1，），

∴=（1，0，1），=（），=（0，1，），

设平面AB1E的法向量为=（x1，y1，z1），则=0，=0，

∴，∴=（1，，-1）．

设平面AEF的法向量为=（x2，y2，z2），

则，=0，

∴，∴=（1，-1，2），

设二面角B1-AE-F的平面角为θ，

则cosθ=|cos＜＞|=||=．

∴二面角B1-AE-F的余弦值为．

解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

则A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

∴，．

设平面ABC的法向量为，

则，令x=1，则z=2，y=1，∴．

∴点O到面ABC的距离d===．

（2）=（2，-1，0）．

设平面EAB的法向量为，则，

令a=1，得b=c=2，∴．

由（1）知平面ABC的法向量．

===．

∴==．

结合图形可知，二面角E-AB-C的正弦值是．

（Ⅰ）证明：取AB的中点F，连接DP、PF、EF，则FP∥AC，．

取AC的中点M，连接EM、EC，

∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．

∴四边形EMCD为矩形，∴ED=MC=AC．

又∵ED∥AC，

∴ED∥FP且ED=FP，四边形EFPD是平行四边形．

∴DP∥EF，而EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，∴DP∥平面EAB．

（II）∵∠BAC=90°，平面EACD平面ABC，

∴以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则z轴在平面EACD内（如图）．设AB=AC=AE=2，由已知，得B（2，0，0），E，D．

∴=，=（0，1，0），

设平面EBD的法向量为=（x，y，z），

则，取z=2，得平面EBD的一个法向量为．

又∵平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）．

∴cosθ====．

（1）证明：由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC-A1B1C1，侧面B1C1CB为边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=2…（2分）

连B1C交BC1于O，连接OD，在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，

而AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1；…..（4分）

（2）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴AA1⊥BD，

∵AB=BC=2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，

∴BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C①…..（6分）

又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面B1C1CB

∴A1B1⊥B1C，

在正方形B1C1CB中，BC1⊥B1C，

∵B1C，A1B1⊂平面A1B1C，B1C∩A1B1⊂=B1，

∴B1C⊥平面A1B1C，

∴B1C⊥A1C②…..（8分）

由①②，又BD∩BC1=B，BD，BC1⊂平面BDC1，

∴A1C⊥平面BDC1；…9

（3）解：如图补成正方体，则∠O1OS为二面角的平面角，∵O1O=2，O1S=，∴tan∠O1OS=…..14

（1）证明：以D为坐标原点，DA、DB、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（D1是C1B1的中点），

则A（2a，0，0），B（0，a，0），F（0，-a，2a），B1（0，a，3a），（4分）

，，，

由且，得B1F⊥DF，B1F⊥DA，

∵DF∩DA=D，且DF、DA⊂平面ADF

∴B1F⊥平面ADF；（6分）

（2）由（1）知，，

设平面AA1B1B的一个法向量为，

则且，可取，（8分）

由cos＜，＞==-

即所求二面角的余弦值是．（13分）