热门试卷

解：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵CC1⊥平面ABC，

∴∠C1AC就是AC1与底面ABC所成的角，得∠C1AC=60°，

Rt△C1AC中，AC=2，所以AC1=4，…（3分）

以C为坐标原点，CA为x轴、CB为y轴、CC1为z轴，

建立空间直角坐标系，

设异面直线EF与AC1所成的角为θ，

可得A（2，0，0），，，

F（1，1，0），…（7分）

∴，，…（9分）

可得，所以

即异面直线EF与AC1所成角的大小为．…（12分）

解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABCD，∴A1D⊥AD，A1D即为两个底面的距离．

在Rt△A1DA中，，AA1=2，AD=1，

由勾股定理得．

又=．

∴三棱锥C-A1B1C1的体积V==；

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），

A1（0，0，），B1（0，1，），D1（-1，0，），C1（-1，1，）．

∴，，．

设平面ADB1的法向量为，

则，即，

令z=1，则y=，x=0，∴．

设直线BD1与平面ADB1所成角为θ，

则===．

解：（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形∴CD∥BE，BC∥DE（1分）

∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC∴DC⊥BC．（2分）

∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC且DC∩AC=C

∴BC⊥平面ADC．

∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC（3分）

又∵DE⊂平面ADE∴平面ACD⊥平面ADE（4分）

（2）∵DC⊥平面ABC∴BE⊥平面ABC

∴∠EAB为AE与平面ABC所成的角，即∠EAB=θ（5分）

在Rt△ABE中，由，AB=2得（6分）

在Rt△ABC中∵（0＜x＜2）

∴（7分）

∴=（0＜x＜2）（8分）

（3）由（2）知0＜x＜2

要V（x）取得最大值，当且仅当取得最大值，

∵（9分）

当且仅当x2=4-x2，即时，“=”成立，

∴当V（x）取得最大值时，这时△ACB为等腰直角三角形（10分）

连接CO，DO

∵AC=BC，DC=DC

∴Rt△DCA≌Rt△DCB∴AD=DB

又∵O为AB的中点∴CO⊥AB，DO⊥AB

∴∠DOC为二面角D-AB-C的平面角（12分）

在Rt△DCO中∵，

∴，∴∠DOC=60°

即当V（x）取得最大值时，二面角D-AB-C为60°．（14分）

证明：（1）如图一，连接AC1与A1C交于点K，连接DK．

在△ABC1中，D、K为中点，∴DK∥BC1、（4分）

又DK⊂平面DCA1，BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1、（6分）

（2）证明：（方法一）如图二，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、（8分）

取A1B1的中点E，又D为AB的中点，∴DE、BB1、CC1平行且相等，

∴DCC1E是平行四边形，∴C1E、CD平行且相等．

又CD⊥平面ABB1A1，∴C1E⊥平面ABB1A1，∴∠EBC1即所求角、（10分）

由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．

设AC=BC=BB1=2，∴，，∠EBC1=30°、（12分）

（方法二）如图三，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、（8分）

取DA1的中点F，则KF∥CD，∴KF⊥平面ABB1A1．

∴∠KDF即BC1与平面ABB1A1所成的角．（10分）

由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．

设AC=BC=BB1=2，∴，，∴∠KDF=30°、（12分）