热门试卷

（I）证明：由题意，△PCD折起后PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD=2．

∵E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，

∴EF∥CD，EG∥PB．

又CD∥AB，∴EF∥AB，PB∩AB=B，…（3分）

∴平面EFG∥平面PAB．…（5分）

（II）解：建立空间直角坐标系D-xyz，如图，则D（0，0，0），F（0，0，1），G（1，2，0），E（0，1，1），=（0，1，0），=（1，2，0），=（0，-1，0），=（1，1，-1）…（6分）

设平面DFG的法向量为，

则∴，

令y1=1得=（-2，1，0）．…（8分）

设平面EFG得法向量为，

则∴，

令z2=1得=（1，0，1），…（10分）

∴．

设二面角E-FG-D为θ，则θ=，

所以，二面角E-FG-D的余弦值为．…（12分）

（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，

∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC，

∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，

∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，

∴BC⊥平面A1AB，

又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B．（5分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，

如图，以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz

∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，

∴AD⊥A1B．

在Rt△ABD中，AD=，AB=2，

sin∠ABD==，∠ABD=60°，

在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，A1A⊥AB．

在Rt△ABA1中，AA1=AB•tan60°=2，

则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），

P（1，1，0），A1（0，2，2），

，=（0，2，2），，

设平面PA1B的一个法向量，

则，即，

得，

设平面CA1B的一个法向量，

则，即，

得，，

∴二面角P-A1B-C平面角的余弦值是．…（12分）

解：（I）以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），

C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），

=（0，-2，-2），=（m，-2，2），

因为=0+（-2）×（-2）-2×2=0，

所以⊥，即A1C⊥AE；

（II）=（m，0，1），=（0，2，1），

设=（x，y，z）为平面EA1D的一个法向量，

则，即，取=（2，m，-2m），

=（2，0，-1），设=（x，y，z）为平面A1DB的一个法向量，

则，即，取=（1，-1，2），

由二面角E-A1D-B的平面角的余弦值为，得||=，解得m=1，

所以=；

（III）由（II）知E（1，0，2），且=（1，-1，2）为平面A1DB的一个法向量，

设F（x，y，0），则=（x-1，y，-2），且，所以x-1=-1，y=1，解得x=0，y=1，

所以=（-1，1，-2），||==，

故EF的长度为，此时点F（0，1，0）．

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，

取AC中点O，连接BO，DO，

则BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）

又∵平面ACD⊥平面ABC，

∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，

那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，

∵BE和平面ABC所成的角为60°，

∴∠EBF=60°，

∵BE=2，∴，…（4分）

∴四边形DEFO是平行四边形，

∴DE∥OF，

∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，

∴DE∥平面ABC．…（6分）

（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，

∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，

∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，

∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角．…（9分）

Rt△EFG中，，，．

∴．

即二面角E-BC-A的余弦值为．…（12分）

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

B（0，，0），C（-1，0，0），E（0，，），

∴=（-1，-，0），=（0，-1，），

平面ABC的一个法向量为

设平面BCE的一个法向量为

则，∴，

∴．…（9分）

所以，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，

二面角E-BC-A的余弦值为．…（12分）

（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥BC，

又平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC

∴AB⊥平面PBC

又PC⊂平面PBC

∴AB⊥CP  …（3分）

（Ⅱ）解：∵BC∥AD，BC⊄面PAD，AD⊂面PAD，

∴BC∥面PAD

取BC中点O，再取AD中点M

∵AD⊥MO，AD⊥MP，MO∩MP=M

∴AD⊥面MOP，

∵AD⊂面ADP

∴面ADP⊥面MOP

过点O作OH⊥PM，则OH⊥面ADP

在Rt△MPO中，由OH•PM=PO•MO，可得OH=

∴点B到平面PAD的距离为．  …（7分）

（Ⅲ）解：∵BC∥AD，BC⊄面PAD，AD⊂面PAD，

∴BC∥面PAD

∵面PAD∩面PBC=l，BC⊂面PBC

∴BC∥l

∴OP⊥l，MP⊥l

∴∠MPO就是二面角A-l-B的平面角．

∴tan∠MPO==1

∴∠MPO=45°

∴二面角A-l-B的大小为45°．…（12分）

（Ⅰ）证明：∵O，E分别是AB和AC的中点，∴OE∥BC．--------------（2分）

又∵OE⊄面VBC，BC⊂面VBC．----------------------------（3分）

∴OE∥面VBC．-----------------------------------------（4分）

（Ⅱ）证明：∵VA=VB，∵△ABC为等腰三角形，

又∵O为AB中点，∴VO⊥AB；--------------------------------（5分）

在△VOA和△VOC中，OA=OC，VO=VO，VA=VC，△VOA≌△VOC；--------（6分）

∴∠V0A=∠VOC=90°．∴VO⊥OC；--------------------------------------（7分）

∵AB∩OC=O，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，---------------------（8分）

∴VO⊥平面ABC．---------------------------------------------------（9分）

（Ⅲ）解：在圆O内，OA=OC，∠CAO=45°，所以CO⊥AO．

由（Ⅱ）VO⊥平面ABC，如图，建立空间直角坐标系．-------------------------（10分）

∵OA=OB=OC=OV=1，

∴C（1，0，0），A（0，1，0），B（0，-1，0），V（0，0，1），E（，0）．（11分）

∴=（-1，-1，0），=（-1，0，1）

设为平面VBC的法向量，则，

∴，令x=1，解得．----------------------（12分）

同理，求得平面VOE的法向量为．--------------------（13分）

∴cos＜＞==，

∴．----------------------------------------------（14分）