热门试卷

解：不妨设正三角形的边长为3．

（1）在图1中，取BE的中点D，连接DF．

∵，AF=AD=2，又∠A=60°，△ADF为正三角形．

又∵AE=ED=1，

∴EF⊥AD，

∴在图2中有A1E⊥EF，BE⊥EF．

∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．

∵二面角A1-EF-B为直二面角，

∴A1E⊥BE

又∵BE∩EF=E，

∴即A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP

（2）由（1）可知，A1E⊥平面BEP，BE⊥EF，建立坐标系则E（0，0，0），A1（0，0，1），B（2，0，0），

F（0，，0），D（1，0，0），不难得出EF∥DP且EF=DP，DE∥EP且DE=FP．

故P点的坐标为（1，，0），

∴

设平面A1BP的法向量=（x，y，z），

则

∴．

∴．

∴A1E与平面A1BP所成角的大小为．

（Ⅰ）证明：取AD中点O，连接GO，OE，则四边形OGFE为梯形，PA∥OE

∵PA⊄平面EFG，OE⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG；…（6分）

（Ⅱ）解：分别以OG，OD，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则，．

设平面EFG的法向量为，则，∴，

取，得到．

设点（0≤λ≤3），于是，

由题知，

即，解得．

∴点M在CD的中点时，MF与平面EFG所成角为60°．…（14分）

（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点G，∴点G是BD的中点．

∵点M是DF的中点，∴MG是△BDF的中位线．∴BF∥MG．

∵MG⊂平面AMC，BF⊄平面AMC，∴BF∥平面AMC．…（5分）

（Ⅱ）解：∵四边形ABEF是梯形，∠EFA=∠FAB=90°，∴AB⊥AF

又四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，又AD∩AF=A，∴AB⊥面ADF

又BC∥AD，∴CD⊥面ADF，∴CD⊥DF．

在Rt△CDM中，，

由CD2+DM2=CM2，可求得AB=CD=2…（6分）

以A为原点，以AF，AB，AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（7分）

∴A（0，0，0），C（0，2，1），E（1，1，0），F（1，0，0），

∴，，．

设平面ACE的法向量，

∴，，∴

令x=1，则y=-1，z=2，∴．

又是平面ACB的法向量，∴=．

如图所示，二面角B-AC-E为锐角，

∴二面角B-AC-E的余弦值是．…（13分）

解：（1）∵BD⊥CD，OC⊥平面ODBA，∴BD⊥OD．

∴∠CDO即为二面角A-BD-C的平面角．

连接OB，∵CO⊥平面ABD，AD⊥BC，

∴AD⊥平面BOC，∴AD⊥OB，

∴∠OBD+∠ADB=90°，

故∠OBD=∠DAB，∴Rt△ABD∽Rt△BDO，

∴，∴，

在Rt△COD中，，得∠CDO=60°．

（2）∵CO⊥面ABD，∴面COD⊥面ABD．

过A作AM⊥DO交DO延长线于M点，连CM，则AM⊥面COD．

∴∠ACM即为AC与平面COD所成角．

在△CMD中，CO⊥DM，OM=OD=1，∴CM=CD=2．

又AM=BD=

∴，即AC与平面COD所成角的正切值为．

（3）取BC的中点P，AC的中点E，连接PD，PE，OE

∵PE是△ABC的中位线，∴PE∥AB，，又OD∥AB，OD=1

∴PE∥OD，PE=OD

∴四边形PEOD为平行四边形，∴PD∥OE，又OE⊂面AOC，PD⊄面AOC，

∴PD∥面AOC

即存在BC的中点P，满足PD∥面AOC

证明：（1）连接BD，

∵ABCD是正方形，

∴AC⊥BD．

又ED⊥底面ABCD，

∴BD是斜线EB在平面ABCD内的射影．

∴BE⊥AC．

（2）以D为原点，DA、DC、DE为x，y，z建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0）、B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2）

设N（x，y，z），且（0≤λ≤1）

则N（2-2λ，2-2λ，2λ），∴

平面ADE的法向量为

则，

解得

又，∴

即当时，直线CN与平面ADE成30°角