热门试卷

解：（1）证明：由题意，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，

又∵AB⊥AD，PA∩AD=A，

∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，

∵BM∩AB=B，

∴PD⊥平面ABM，又PD⊂平面PCD，

∴平面ABM⊥平面PCD．

（2）由（1）可知：PD⊥平面ABM，∴PD⊥AM，又在Rt△PAD，PA=AD，∴PM=MD．

如图所示，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2），

由（1）可知：是平面ABM的一个法向量=（0，4，-4），

又=（2，4，-4），

设PC与平面ABM所成的角为θ，

则sinθ=|cos＜，＞|===．

（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴PA⊥AD

∵∠DAC=90°，∴AD⊥AC

∵PA∩AC=A

∴AD⊥平面PAC

∵PC⊂平面PAC

∴AD⊥PC

（Ⅱ）解：建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，则P（0，0，2），D（-1，1，0），B（2，0，0），C（2，2，0）

∴，，

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，可得，取

则…（11分）

∴PD与平面PBC所成的角为．                   …（12分）

（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，

∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，

∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．

∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，

∴PO⊥平面ABFED，

∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD．

∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）

（Ⅱ）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．（5分）

（ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，

故BD=4，HB=2，HC=2．

又设PO=x，则OH=2-x，OA=4-x．

所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2-x，2，0），

故=（ 2-x，2，-x），（6分）

所以||=，

∴当x=时，|PB|min=．

此时PO=，OH=（7分）

由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，所以=3．（8分）

（ⅱ）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=，则A（3，0，0），B（，2，0），D（，-2，0），P（0，0，）．

所以，（9分）

∵=λ （λ＞0），

∴，∴．

∴Q（，0，），

∴=（）．    （10分）

设平面PBD的法向量为，则．

∵，∴，

取x=1，解得：y=0，z=1，所以．（11分）

设直线OQ与平面PBD所成的角θ，

∴sinθ=|cos|==．（12分）

又∵λ＞0∴sinθ＞．（13分）

∵θ∈[0，]，∴θ＞．

因此直线OQ与平面PBD所成角大于，即结论成立． （14分）

解：（1）证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE．

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，

所以 侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，

所以 DE∥AC1．

因为 DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，

所以 AC1∥平面B1CD．

（2）由（1）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．

则B （3，0，0），A （0，4，0），A1 （0，4，4），B1 （3，0，4）．

设D （a，b，0）（a＞0，b＞0），因为 点D在线段AB上，且，即．

所以a=2，，，，．

平面BCD的法向量为． 

设平面B1 CD的法向量为，

由，，得 ，

所以 ，y=2，．

所以  ．

所以二面角B-CD-B1的余弦值为．

解：（1）分别取AB、DF的中点O、G，连接OC、OG．

以直线OB、OC、OG分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AF=a=4，则D、E、F的坐标分别为D（1，0，1）、E（0，，3）、F（-1，0，4），

∴=（-1，，2），=（-2，0，3）

设平面DEF的法向量，

由得，

令z=6，则x=9，，∴．

平面ABC的法向量可以取．

∴===．

∴平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为．

（2）在（1）的坐标系中，AF=a，=（-1，，2），=（-2，0，a-1），C．

因P在DE上，设，

则=（1，0，1）+=．

∴=．

于是CP⊥平面DEF的充要条件为，得到                                 

由此解得，，a=2．

即当a=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，使CP⊥平面DEF．

（Ⅰ）证明：如图，

 取PA的中点Q，连结EQ、DQ，

则∵E是PB的中点，∴EQ∥AB，且，

又∵，∴DF∥AB，且，∴EQ∥DF，且EQ=DF，

∴四边形EQDF为平行四边形，∴EF∥QD，

又∵EF⊄平面PAD，且DQ⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；

（Ⅱ）解：（1）由，得PH⊥AD，

∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥PH，又AD∩AB=A，∴PH⊥平面ABCD，

在平面ABCD内过点H作HG∥AB，∴HG⊥平面PAD，

以H为原点，分别以HA，HG，GP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系H-xyz，

∵PD=AD=2，∴在Rt△PHD中，，

∴H为AD中点，则A（1，0，0），，B（1，2，0），，F（-1，1，0），

∴，

设平面PAB的一个法向量为，

∵，，

由，得，∴，令，得x=3，y=0．

∴

设直线AF与平面PAB所成的角为θ，

则==

∴直线AF与平面PAB所成角的正弦值为．

（2）显然向量为平面PAD的一个法向量，且

设平面PBC的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），，，

由，得到

由，得到-2x1+2y1=0，

令x1=1，则，所以，

∴=，

所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为．

（I）证明：∵∠ABC=90°，AB=BC=1，∴AC=

∵四边形ABCD为直角梯形，AD=2，AB=BC=1

∴CD=，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°

∴DC⊥AC

∵平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∩平面ACD=AC．

∴DC⊥平面APC；

（II）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（）

∴，=，

设平面APB的法向量为，平面APD的法向量为

∵，

∴∴可取

同理

∴=

∵二面角B-AP-D的平面角为钝二面角

∴二面角B-AP-D的余弦值为．

（1）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∵A1B1⊥面A1D1DA，

∴A1B1⊥AD1．   

在矩形A1D1DA中，∵AA1=AD=2，

∴AD1⊥A1D．

又A1D∩A1B1=A1，

∴AD1⊥平面A1B1D．

（2）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D1为原点建立空间直角坐标系D1-xyz．

依题意可知，D1（0，0，0），A1（2，0，0），D（0，0，2），A（2，0，2），

设AB的长为x，则C1（0，x，0），B1（2，x，0），．

假设在棱AA1上存在点P，使得DP∥平面B1AE．

设点P（2，0，y），则，．

易知．

设平面B1AE的一个法向量为n=（a，b，c），

则，即．

令b=3得，，∴=．

∵DP∥平面B1AE，∴且DP⊄平面B1AE．

得，∴．

∴，，

∴AP的长为．

（3）∵CD∥A1B1，且点E∈CD，

∴平面A1B1E、平面A1B1D与面A1B1CD是同一个平面．

由（1）可知，AD1⊥面A1B1D，

∴是平面A1B1E的一个法向量．  

由（2）可知，平面B1AE的一个法向量为．

∵二面角A-B1E-A1的余弦值为，

∴==，解得x=．

故AB的长为．