热门试卷

解：（1）以D为坐标原点，边DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

可以确定以下几点坐标：

D（0，0，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，y0，0），0≤y0≤2；

∴，；

；

∴D1E⊥A1D；

（2）假设存在E（1，y0，0）使二面角D1-EC-D的平面角为，其中0≤y0≤2；

DD1⊥平面DCE；

∴可作为平面DCE的一条法向量；

设平面D1CE的一条法向量为，则：

；

∴；

∴，取y=1；

∴平面D1CE的一条法向量为；

∴，和所成角为；

∴；

∴整理得；

解得（舍去）；

∴，A（1，0，0）；

∴；

∴在棱AB上存在点E，使二面角D1-EC-D的平面角为，且|AE|=．

（1）证明：∵，∴AB⊥AC

∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB

∵AA1∩AC=A

∴AB⊥平面AA1C

∵AA1平行且BB1，

∴四边形ABB1A1为平行四边形

∴A1B1∥AB

∴A1B1⊥平面AA1C；

（2）证明：取BC的中点D，连接AD，DC1，则CD平行且等于B1C1，BD平行且等于B1C1，

∴四边形B1DCC1和BDC1B1为平行四边形

∴B1D平行且等于CC1，∴C1D平行且等于B1B

由（1）B1B平行且等于AA1，∴C1D平行且等于A1A

∴四边形AA1C1D为平行四边形

∴AD∥A1C1∵B1D∩AD=D，B1D，AD⊂平面AB1D

∴平面AB1D∥平面A1C1C

∵AB1⊂平面AB1D

∴AB1∥平面A1C1C；

（3）解：由（1）知，AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的直角坐标系，设BC=2，则A1（0，0，），C（0，-，C1（-，-，）

∴，=（-，-，0）

设平面A1C1C的法向量为，则，∴，∴

∵平面A1AC的法向量为

∴cos==

∵二面角C1-A1C-A的为钝二面角，∴二面角C1-A1C-A的余弦值为-

（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于O，则O是AC的中点，

∴OF∥CC1，CC1∥BB1，∴OF∥BB1，又OE∥AB，

∴平面OEF∥平面AA1B1B，又EF⊂平面OEF，

∴EF∥平面AA1B1B．（4分）

（Ⅱ）解：∵AD=1，AA1=2，，∴△AA1D是直角三角形，且A1D⊥AD，

∵侧面AD1⊥平面ABCD，∴A1D⊥平面ABCD，可知DA1、DA、DC两两垂直．（6分）

分别以DA1、DA、DC为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则

D（0，0，0），A（1，0，0），，C（0，1，0），，B（1，1，0），

∴，，，，，（8分）

由，可得平面A1C1D的一个法向量，

设平面ACC1A1的法向量为=（x，y，z），

由，取，（10分）

则，

∴二面角C-A1C1-D的大小为．（12分）

（1）证明：∵AB=1，BC=AD=2，∠ADC=60°，

∴AC2=1+4-2×1×2×cos60°=3

∴AC=，

又∵AB=1，BC=2

∴∠BAC=∠ACD=90°，

∴AC⊥AB

又AF⊥AC，AB∩AF=A

∴AC⊥平面ABF，

又∵BF⊂平面ABF，

∴AC⊥BF；

（2）解：建立如图所示的坐标系，则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），F（0，，），B（-1，，0）

平面ABD的一个法向量=（0，0，1），

设平面FBD的法向量为=（x，y，z）

∵=，=，

由，可得

令z=1，得=（）为平面FBD的一个法向量．

∴

故所求二面角F-BD-A的余弦值为．

解：（1）如图，以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）

，，，

∵，

，

∴，，

∴A1C⊥平面BED

（2）∵，，

设平面A1DE的法向量为，

由及，

得-2x+2y-3z=0，-2x-4z=0，

取

同理得平面BDE的法向量为，

∴cos＜＞===-，

所以二面角A1-DE-B的余弦值为．

（1）解：取AB中点G，连FG、CG，则FG∥AE，

又AE和CD都垂直于平面ABC，∴AE∥CD，

∴FG∥CD，∴F、G、C、D四点共面．

又平面FGCD∩平面ABC=CG，DF∥平面ABC，

∴DF∥CG，∴四边形FGCD是平行四边形，∴

（2）证明：直角三角形ABE中，AE=AB，F是BE的中点，∴AF⊥BE，

又△ABC中，AC=BC，G是AB中点，∴CG⊥AB，又AE垂直于平面ABC，∴AE⊥CG，

又AE∩AB=A，∴CG⊥面ABE．∵DF∥CG，∴DF⊥面ABE，∴AF⊥DF

又∵BE∩DF=F，∴AF⊥面BED，∴AF⊥BD．

（3）解：设面ADF∩面ABC=L，∵DF∥平面ABC，∴DF∥L，

又DF⊥面ABE，∴L⊥面ABE，∴L⊥AF，L⊥AB，

∴∠FAB即为所求二面角的平面角．直角三角形ABE中，易得∠FAB=45°

∴平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角为45°．

（1）证明：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，

∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，

取B1C1中点为O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则．

∴，，．

∵，．

∴，，

∴AB1⊥面A1BD．

（2）设平面A1AD的法向量为，．，

∴，∴，⇒，

令z=1，得为平面A1AD的一个法向量，由（1）知AB1⊥面A1BD，

∴为平面A1AD的法向量，，

由图可以看出：二面角A-A1D-B是锐角．

∴二面角A-A1D-B的余弦值为．

解：（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，

所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，

所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（1分）

因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，

所以OM∥平面ABD．…（3分）

（Ⅱ）由题意，OB=OD=3，

因为，

所以∠BOD=90°，OB⊥OD．…（4分）

又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC．

.，B（0，0，3）．

所以，…（6分）

设平面ABD的法向量为n=（x，y，z），

则有即：

令x=1，则，所以n=．…（7分）

因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．

平面BOD的法向量与AC平行，

所以平面BOD的法向量为n0=（1，0，0）．…（8分）

∴，

因为二面角A-BD-O是锐角，

所以二面角A-BD-O的余弦值为．…（9分）

（Ⅲ）因为N是线段BD上一个动点，设N（x1，y1，z1），，

则（x1，y1，z1-3）=λ（0，3，-3），

所以x1=0，y1=3λ，z1=3-3λ，…（10分）

则N（0，3λ，3-3λ），，

由得，即9λ2-9λ+2=0，…（11分）

解得或，…（12分）

所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）．…（13分）

（也可以答是线段BD的三等分点，或）

解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，

∵侧面BB1C1C为菱形，

∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，

又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，

∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，

又B10=CO，∴AC=AB1，

（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，

又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，

∴OA，OB，OB1两两垂直，

以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，

的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，

∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，

∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）

∴=（0，，），==（1，0，），==（-1，，0），

设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，

则，可取=（1，，），

同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，-，），

∴cos＜，＞==，

∴二面角A-A1B1-C1的余弦值为