热门试卷

解：（1）过点C作BD的平行线，取CE=BD=4，

∵AC⊥l，而CE⊥l，则∠ACE=60°

根据余弦定理可知cos∠ACE=

解得：AE=

而三角形AEB为直角三角形，则BE=2

即CD=2

（2）∵BE∥l

∴AB和棱l所成的角为∠ABE

在直角三角形AEB中，cos∠ABE=

∴AB和棱l所成的角为arccos．

解：（1）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90o故△ABC为等腰直角三角形

∵G为△ABC的重心，∴AB⊥GC①

又∵DC⊥平面ABC，AB平面ABC∴AB⊥DC②

由①②及DC∩GC=C知AB⊥面DGC，

∵DG⊂面DGC，∴AB⊥DG（6分）

（2）延长CG交AB于点N∵G为△ABC的重心∴N是AB的中点

∵∠ACB=90o∴

连接DN延长CM交DN于点C，由CN=DC=6，∠MCG=45o

知CE⊥DN，则E是DN的中点，连接BE，由AB⊥面DGC，知BE⊥CE

故∠BEN为二面角G-MC-B的平面角（9分）

在Rt△BEN中，BN=6，EN=，∴

∴二面角G-MC-B的大小是（12分）

（1）证明：由已知AB⊥CD，DE⊥CD，AB∩DE=E，

可得CD⊥平面ABD．

又△ABD中，AE=BE=DE，DE⊥AB，

∴AD=BD，AD⊥BD，

又AD为AC在平面ABD内的射影，

∴AC⊥BD；

（2）解：连结CE，作DH⊥CE于H，连结BH．

由AB⊥DE，AB⊥CD知，AB⊥平面CDE，

∴平面ABC⊥平面CDE，

又DH⊥CE，∴DH⊥平面ABC，

故BD与平面ABC所成的角为∠DBH．

∵Rt△CAD≌Rt△CBD，

∴AC=BC，

又∠ACB=60°，

∴△ABC为等边三角形．

记AB=a，则CE=a，DE=a，BD=a．

在Rt△CDE中，CD=a，∴DH==a，

故在Rt△BDH中，sin∠DBH=，

故BD与平面ABC所成的角为arcsin．

解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，2）

∴=（-2，0，2），=（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．

∴cos＜，＞═．

∴BC1与平面BB1D1D所成角为：30°

故答案为：30°．

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．

∵AB⊥AD，AD∩PA=A AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，

∴AB⊥平面PAD．∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．

∵BM⊥PD，AB∩BM=B，AB⊂平面ABM，

BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM．

∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD．

（2）解：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，

则M是PD的中点，作MN⊥AD，N为垂足，则N为AD的中点，

MN∥PA，MN=PA=1，AD⊥平面ABCD，

∠MBN为直线BM与平面ABCD所成的角．

Rt△MMB中，MN=1 BN===，∴BM==，

∴sin∠MBN===．