热门试卷

解：（1）设AC∩BD=O，则BD⊥AC，

∵BD⊥CC1，

∴∠BC1O就是直线BC1与平面A1C1CA所成角．

设AA1=h，则sin∠BC1O===，

∴AA1=h=4；

（2）取A1C1的中点F，连接EF，BF，

∵A1B=BC，

∴BF⊥A1C1，

同理EF⊥A1C1，

∴∠BFE就是求二面角E-A1C1-B的平面角．

在△BFE中，EF=，BF=3，BE=2，

则BF2=BE2+EF2=18，

∴BE⊥EF，

∴cos∠BFE==．

（Ⅰ）证明：连接AD，交PO于M，连接OD，QM，则

∵点O，D分别是AB，PB的中点，

∴OD∥AP，OD=AP，

∴，

∴MQ∥CD，

∵MQ⊂平面OPQ，CD⊄平面OPQ，

∴CD∥平面OPQ

（Ⅱ）解：连接OC，则

∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，平面PAB∩平面ABC=AB，

∴PO⊥平面ABC，

∴PO⊥AB，PO⊥OC

∵AC=BC，点O是AB的中点，

∴OC⊥AB，且OA=OB=OC=a，

作OH⊥PB于H，连接CH，则

∵PO⊥OC，OC⊥AB，PO∩AB=A，

∴OC⊥平面PAB，

∴CH⊥PB，

∴∠CHO是二面角A-PB-C的平面角，

∵二面角A-PB-C的余弦值的大小为，

∴cos∠CHO=，

∴tan∠CHO=2，

在Rt△COH中，∴HO=a，

∴HB=a，

在Rt△POB中，由射影定理可得OB2=BH•BP，

∴BP===

∴PA=．

解：法一：

（Ⅰ）∵AB∥DC，DC⊂平面EFCD，

∴AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离，

过点A作AG⊥FD于G，因AB∥DC，

故CD⊥AD；又∵FA⊥平面ABCD，

由三垂线定理可知，CD⊥FD，

故CD⊥面FAD，知CD⊥AG，

所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离．

在Rt△FCD中，

由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，从而在Rt△FAD中

∴．

即直线AB到平面EFCD的距离为．

（Ⅱ）由己知，FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，

又由，知AD⊥AB，

故AD⊥平面ABFE∴DA⊥AE，

所以，∠FAE为二面角F-AD-E的平面角，记为θ．

在Rt△AED中，，

由平行四边形ABCD得，FE∥BA，从而

在Rt△AEF中，，

故

所以二面角F-AD-E的平面角的正切值为．

法二：

（Ⅰ）如图以A点为坐标原点，的方向为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系数，则A（0，0，0）

C（2，2，0）D（0，2，0）设F（0，0，z0）（z0＞0）可得，

由．即，

解得F（0，0，1）

∵AB∥DC，DC⊂面EFCD，

所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离．

设A点在平面EFCD上的射影点为G（x1，y1，z1），

则因且，

而，

此即解得x1=0①，知G点在yoz面上，

故G点在FD上.，

故有②联立①，②解得，

∴为直线AB到面EFCD的距离．

而所以

（Ⅱ）因四边形ABFE为平行四边形，

则可设E（x0，0，1）（x0＜0），．

由得，

解得．即．故

由，

因，，

故∠FAE为二面角F-AD-E的平面角，

又∵，，，

所以

解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）

∵AB=BC，

∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，

故BO⊥平面ACC1A1，

∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，

∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）

（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，

∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面

ADC1⊥平面A1ACC1，

∴A1E⊥平面ADC1．

作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角．

不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，

tan∠A1FE=，

∴∠A1FE=60°．

所以二面角A1-AD-C1为60°．（12分）

（1）证明：以点A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AE所在直线为z轴建立直角坐标系，

则A（0，0，0），B（0，，0），D（-，0，0），C（，，0），F，E（0，0，2），

∴=，=，=，

从而有•=0，•=0，

∴EC⊥BD，EC⊥BF，

又∵BD∩BF=B，从而EC⊥面BDF．

（2）解：由（1）知向量为平面BDF的法向量，

设平面EBD的法向量为，

则，即；

令z=1得，

故 ，

∴二面角E-BD-F的余弦值为．

（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．

则OD∥BB1∥CC1．

因为O是AB的中点，

所以OD=．

则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D．C1D⊂平面C1B1A1且OC⊄平面C1B1A1，

则OC∥面A1B1C1．

（2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2．

作BH⊥A2C2于H，连CH．

因为CC1⊥面BA2C2，所以CC1⊥BH，则BH⊥平面A1C．

又因为AB=，BC=，AC=．

所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角．

因为BH=，所以sin∠BCH=，故∠BCH=30°，

即：所求二面角的大小为30°．

（3）因为BH=，所以=．=•2=1．

所求几何体体积为=．