热门试卷

（1）证明：取PD中点G，连接AG、FG，

因为EF分别为AB、PC的中点，

所以AE=AB，GF∥DC且GF=DC，

又在矩形ABCD中AB∥CD且AB=CD，

所以AE∥GF且AE=GF，

所以四边形AEFG是平行四边形，

所以AG∥EF且AG=EF

又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD．

所以EF∥平面PAD；

（2）解：∵AG∥EF，

∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角

过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH∥PA

∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，

∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，

∵∠PDA=45°，G为PD的中点

∴∠GAH=45°

即EF与平面ABCD所成的角为45°．

（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM．

因为F为PC中点，故MF∥BC且．

由已知有BC∥AD，BC=AD．

又由于E为AD中点，因而MF∥AE，且MF=AE，

故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM．

又AM⊂平面PAB，而EF⊄平PAB．

所以EF∥平面PAB；

（2）解：连接PE，BE．

因为PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD．

所以∠PEB为二面角P-AD-B的平面角．

在△PAD中，由，AD=2，可解得PE=2．

在△ABD中，由，AD=2，可解得BE=1．

在△PEB中，PE=2，BE=1，从而∠PBE=90°

∠PEB=60°．即有二面角P-AD-B的大小为60°；

（3）证明：由（2）得∠PBE=90°即BE⊥PB．

又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，

因此BE⊥平面PBC．

（Ⅰ）证明：四边形ABCD为菱形

所以：BD⊥AC

又面ACEF⊥面ABCD

所以：BD⊥平面ACFE

所以：BD⊥CH

即：CH⊥BD

又H为FG的中点，CG=CF=

所以：CH⊥FG

所以：CH⊥面BFD．

（Ⅱ）连接EG，由（Ⅰ）知BD⊥平面ACFE

所以：面EFG⊥面BED

所以：EF与平面EDB所成的角即为∠FEG．

在△FCG中，CG=CF=，CH=，CH⊥GF

所以∠GCF=120°，GF=3

所以EG=，又因为EF=2．

所以在△EFG中，可求得∠FEG=60°

（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，

且侧棱AD⊥底面BDC．

如图，

∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD，

∴AD∥EF．

∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，

∴AD∥GH．

由平行公理可得EF∥GH．

∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，

∴BC∥FG．

∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，

∴BC∥EH．

由平行公理可得FG∥EH．

∴四边形EFGH为平行四边形．

又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，

∴AD⊥BC，则EF⊥EH．

∴四边形EFGH是矩形；

（Ⅱ）解：

解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，

∴MN⊥平面EFGH，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，

∵△MEH是等腰直角三角形，

∴MN=，又MF=AB=，

∴sin∠AFN==，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是．

解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

由三视图可知DB=DC=2，DA=1．

又E为AB中点，

∴F，G分别为DB，DC中点．

∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）．

则．

设平面EFGH的一个法向量为．

由，得，取y=1，得x=1．

∴．

则sinθ=|cos＜＞|===．

解：（I）过B作BE⊥AC于E，则BE⊥ACC1A1，则BE为点B到平面ACC1A1的距离，---（3分）

可得点B到平面ACC1A1的距离．---（6分）

（II）如图将侧面ABB1A1展到平面CC1B1B上，则当A1，D，C共线时△A1CD的周长最小，此时DB=4，---（9分）

又DE⊥AC，故∠DEB即为所求二面角的平面角，---（11分）

则，故所求二面角的大小为．---（14分）

注：对于向量法也进行相应给分．

解：如图，连接AM，过点P作PH垂直于AM于H，

正三棱锥P-ABC中，

            3分

又PH为平面PMA中的一条直线，

所以BC⊥PH

因为PH⊥AM且BC∩AM=M，

所以PH⊥平面ABC，5分

所以∠PMH为直线PM与平面ABC所成的角（或其补角）         6分

因为正三棱锥P-ABC底面ABC的边长为2，体积为V=1

所以由知，

，

所以，9分

Rt△PHM中，           11分

得∠PMH=arctan3，

故直线PM与平面ABC所成的角为arctan3（或或）               12分

（I）证明：由已知PA2+AB2=PB2，∴PA⊥AB

同理PA⊥AC，

又AB∩AC=A，

∴PA⊥面ABC；

（Ⅱ）解：在△ABC中，过B作BG⊥AC，垂足是G，连接PG，

∵PA⊥面ABC，PA⊂平面PAC，

∴平面PAC⊥面ABC，

∵BG⊥AC，平面PAC∩面ABC=AC，

∴BG⊥平面PAC，

∴∠BPG是直线PB与平面PAC所成角．

在△ABC中，BC=2，AB=AC=，∴BG=，AG=，

∴PG=，

在△PBG中，cos∠BPG==，

∴直线PB与平面PAC所成角的正弦值为．

（Ⅰ）证明：∵E、F分别为SC、SD的中点，

∴EF是△SCD的边CD的中位线

∴EF∥CD

∵四边形ABCD为矩形

∴CD∥AB，∴EF∥AB

∵AB⊂平面SAB，EF⊄平面SAB

∴EF∥平面SAB

（Ⅱ）证明：∵SA=AD，F为SD的中点，

∴SD⊥AF

∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥SA

∵AB⊥AD，SA，AD是平面SAD内的两条相交直线

∴AB⊥平面SAD

∵SD⊂平面SAD，∴SD⊥AB

∵EF∥AB

∴SD⊥EF

∵AF、EF是平面AEF内的两条相交直线

∴SD⊥平面AEF

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）AB⊥平面SAD，∴AF是BF在平面SAD上的射影

∴∠AFB是直线BF与平面SAD所成的角

在直角三角形AFB中，

∴∠AFB=60°