- 立体几何中的向量方法
- 共7934题
（1）证明：PC∥平面EBC
（2）证明：平面PBC⊥平面PCD
（3）求BE与平面ABCD所成角的正切值．
正确答案
∵E、O分别为PA、AC的中点，∴EO∥PC．
∵PC⊄平面EBD，EO⊂平面EBD
∴PC∥平面EBD…（4分）
（2）证明：在正方形ABCD中，BC⊥CD，
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC
又DC∩PD=D，DC，PD⊂面PCD，
∴BC⊥平面PCD，BC⊂平面PBC
∴平面PBC⊥平面PCD．…（8分）
（3）解：取AD中点F，
∵E是PA的中点，∴EF∥PD
∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD
∴∠EBF是直线BE与平面ABCD所成角．
设PD=2，则
∵EF=
∴tan∠EBF=
解析
∵E、O分别为PA、AC的中点，∴EO∥PC．
∵PC⊄平面EBD，EO⊂平面EBD
∴PC∥平面EBD…（4分）
（2）证明：在正方形ABCD中，BC⊥CD，
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC
又DC∩PD=D，DC，PD⊂面PCD，
∴BC⊥平面PCD，BC⊂平面PBC
∴平面PBC⊥平面PCD．…（8分）
（3）解：取AD中点F，
∵E是PA的中点，∴EF∥PD
∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD
∴∠EBF是直线BE与平面ABCD所成角．
设PD=2，则
∵EF=
∴tan∠EBF=
（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B1D-C的余弦值．
正确答案
因为B1B=B1A，所以OB1⊥AB．
又AB⊥B1D，OB1∩B1D=B1，
所以AB⊥平面B1OD，
因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD．…（2分）
由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，
所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，
所以OD⊥平面ABB1A1．
又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1． …（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OB，OD，OB1两两垂直．以O为坐标原点，
由题设知
则
设平面ACC1A1的法向量为
可取
设直线B1D与平面ACC1A1所成角为θ，
故
（Ⅲ）解：由题设知B（1，0，0），
可取平面BB1D的法向量
平面B1DC的法向量
故cos＜
所以二面角B-B1D-C的余弦值为
解析
因为B1B=B1A，所以OB1⊥AB．
又AB⊥B1D，OB1∩B1D=B1，
所以AB⊥平面B1OD，
因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD．…（2分）
由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，
所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，
所以OD⊥平面ABB1A1．
又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1． …（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OB，OD，OB1两两垂直．以O为坐标原点，
由题设知
则
设平面ACC1A1的法向量为
可取
设直线B1D与平面ACC1A1所成角为θ，
故
（Ⅲ）解：由题设知B（1，0，0），
可取平面BB1D的法向量
平面B1DC的法向量
故cos＜
所以二面角B-B1D-C的余弦值为
正确答案
解析
解：如图，
又A′B′⊥A′C′，且A′C′∩CC′=C′，
∴A′B′⊥面A′C′C，则φ=∠B′CA′，
设BB′=a，CC′=b，则A′B′2=4-a2，A′C′2=4-b2，
设B′C′=c，
则有
∵|BB′|≤|CC′|，∴a≤b，
tanφ=
在三角形BB′A′中，∵斜边A′B为定值2，
∴当a最大为
当a减小时，tanφ增大，
若a≤1，则b≥2，在Rt△A′CC′中出现直角边大于等于斜边，矛盾，
∴a＞1，此时A′B′＜
∴tanφ的范围为
故答案为：
（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．
正确答案
（Ⅰ）证明：取DC中点E，连接ME、BE、DB
∵M是PC的中点，EM是三角形PDC中位线
∴EM∥PD
∵EM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD
∴EM∥平面PAD．
在△ADB中，AD=2，
∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴△DBC是等腰三角形，∴BE⊥DC
∵AD⊥DC，∴AD∥BE
∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD
∴BE∥面PAD
又∵BE∩EM=E且BE，EM⊂平面BEM
∴平面BEM∥平面PAD
∵BM⊂平面BEM，
∴BM∥平面PAD；
（2）解：取AD中点F，连接PF，PE，过F做DC的平行线交BE于点H，则AD⊥平面PFH
∵AD∥BE，∴BE⊥平面PFH
∵PH⊂平面PFH，∴PH⊥BE
∵PE⊥CD，BE⊥CD，PE∩BE=E
∴CD⊥平面PBE
∵PH⊂平面PBE
∴CD⊥PH
∵BE∩CD=E
∴PH⊥面ABCD
∴∠PBH就是直线PB与平面ABCD所成的平面角
∵BE=
∵PH=
∴tan∠PBH=
即直线PB与平面ABCD所成角的正切值为
解析
（Ⅰ）证明：取DC中点E，连接ME、BE、DB
∵M是PC的中点，EM是三角形PDC中位线
∴EM∥PD
∵EM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD
∴EM∥平面PAD．
在△ADB中，AD=2，
∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴△DBC是等腰三角形，∴BE⊥DC
∵AD⊥DC，∴AD∥BE
∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD
∴BE∥面PAD
又∵BE∩EM=E且BE，EM⊂平面BEM
∴平面BEM∥平面PAD
∵BM⊂平面BEM，
∴BM∥平面PAD；
（2）解：取AD中点F，连接PF，PE，过F做DC的平行线交BE于点H，则AD⊥平面PFH
∵AD∥BE，∴BE⊥平面PFH
∵PH⊂平面PFH，∴PH⊥BE
∵PE⊥CD，BE⊥CD，PE∩BE=E
∴CD⊥平面PBE
∵PH⊂平面PBE
∴CD⊥PH
∵BE∩CD=E
∴PH⊥面ABCD
∴∠PBH就是直线PB与平面ABCD所成的平面角
∵BE=
∵PH=
∴tan∠PBH=
即直线PB与平面ABCD所成角的正切值为
A
B
C
D
正确答案
解析
解：
以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，
以DD1为z轴，建立空直角坐标系，
∵E为BC1的中点，
∴D（0，0，0），E（1，2，1），
∴
设DE与面BCC1B1所成角的平面角为θ，
∵面BCC1B1的法向量
∴sinθ=|cos＜
∴cosθ=
∴tanθ=
故选：C．
正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为a，侧面与底面的二面角的平面角为β，则cosα+cos2β的值是（ ）
A0
B2
C1
D
正确答案
解析
解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为b，过S做SE⊥AB与E，SO⊥底面ABCD与O，连EO，则∠SEO即为侧面与底面所成二面角的平面角，即为β，在三角形SEO中，SE2=
过B做BH⊥SA与H，连CH，由△SAB≌△SAC，所以CH⊥SC，则角BHC即为两个侧面所成的二面角的平面角，即a，
在△BCH中，BC=
所以cosα+cos2β=0
故选A
（1）求点A到面B1BCC1的距离；
（2）求二面角A-B1B-C的余弦值；
（3）设
正确答案
解：（1）作B1D⊥AC，垂足为D，因为面AB1C⊥面ABC，
所以B1D⊥ABC，因为∠ACB=90o所以BC⊥AB1C．设A到面B1BCC1的距离为h，由
即
（2）过D作DE∥BC，以D为原点，DE、DC、DB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，-a，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、
所以二面角A-B1B-C的余弦值为
（3）设B1C1=m，则A1C1=2m，
所以
解析
解：（1）作B1D⊥AC，垂足为D，因为面AB1C⊥面ABC，
所以B1D⊥ABC，因为∠ACB=90o所以BC⊥AB1C．设A到面B1BCC1的距离为h，由
即
（2）过D作DE∥BC，以D为原点，DE、DC、DB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，-a，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、
所以二面角A-B1B-C的余弦值为
（3）设B1C1=m，则A1C1=2m，
所以
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）求证：AE⊥平面PDC；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．
正确答案
又∵AB∥CD，
∴AB平行且等于EF，
∴AE∥BF，
又∵BF⊂平面PBC，
∴四边形AEFB为矩形，
∴AE∥平面PBC．（3分）
（2）证明：∵△PBC为正三角形，F为PC的中点，
∴BF⊥PC
又EF⊥PC，EF∩BF=F，
∴PC⊥平面AEFB，AE⊥PC；
由（1）知AE⊥EF，EF∩PC=F，
∴AE⊥平面PDC．（7分）
（3）延长CB交DA于B/，连接PB/，设BC=a，
∵AB=
∴BB/=BP=a，取B/P的中点为H，连接AH，BH，则BH⊥B/P，由三垂线定理知，AH⊥B/P，
∴∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．（9分）
在Rt△AHB中，AB=
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角为
解析
又∵AB∥CD，
∴AB平行且等于EF，
∴AE∥BF，
又∵BF⊂平面PBC，
∴四边形AEFB为矩形，
∴AE∥平面PBC．（3分）
（2）证明：∵△PBC为正三角形，F为PC的中点，
∴BF⊥PC
又EF⊥PC，EF∩BF=F，
∴PC⊥平面AEFB，AE⊥PC；
由（1）知AE⊥EF，EF∩PC=F，
∴AE⊥平面PDC．（7分）
（3）延长CB交DA于B/，连接PB/，设BC=a，
∵AB=
∴BB/=BP=a，取B/P的中点为H，连接AH，BH，则BH⊥B/P，由三垂线定理知，AH⊥B/P，
∴∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．（9分）
在Rt△AHB中，AB=
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角为
（Ⅰ）证明：BE⊥平面SEC；
（Ⅱ）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．
正确答案
∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC
又∵平面SAD⊥平面ABCD，SE⊥AD，
∴SE⊥面BEC，
∵BE⊂平面SBE，
∴BE⊥平面SEC；
（Ⅱ）解：如图分别以EB、EC、ES所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则
设平面SBC的法向量
设直线CE与平面SBC所成角为θ，有
解析
∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC
又∵平面SAD⊥平面ABCD，SE⊥AD，
∴SE⊥面BEC，
∵BE⊂平面SBE，
∴BE⊥平面SEC；
（Ⅱ）解：如图分别以EB、EC、ES所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则
设平面SBC的法向量
设直线CE与平面SBC所成角为θ，有
把正方形ABCD沿对角线AC折起，当三棱锥B-ACD的体积最大时，直线BD与平面ABC所成角的大小为（ ）
正确答案
解析
取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，
故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE
∵BE=ED
∴∠DBE=45°
故选B．
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