- 立体几何中的向量方法
- 共7934题
（1）证明：平面A1AC⊥平面AB1B；
（2）求棱AA1与BC所成的角的大小；
（3）若点P为B1C1的中点，并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值．
正确答案
又AB⊥AC，AB∩A1B=B
∴AC⊥面AB1B，------（3分）
∵AC⊂面A1AC，
∴平面A1AC⊥平面AB1B；------（4分）
（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），
所以 
所以 
故AA1与棱BC所成的角是 
（3）因为P为棱B1C1的中点，所以P的坐标为（1，3，2）． …（10分）
设平面PAB的法向量为 
令z=1故 
而平面ABA1的法向量 
故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是 
解析
又AB⊥AC，AB∩A1B=B
∴AC⊥面AB1B，------（3分）
∵AC⊂面A1AC，
∴平面A1AC⊥平面AB1B；------（4分）
（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），
所以
所以
故AA1与棱BC所成的角是
（3）因为P为棱B1C1的中点，所以P的坐标为（1，3，2）． …（10分）
设平面PAB的法向量为
令z=1故
而平面ABA1的法向量
故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是
（Ⅰ） ①求证：AC⊥平面ABD；②求三棱锥C-ABD的体积；
（Ⅱ） 求AC与平面BCD所成的角的正弦值．
正确答案
解：（Ⅰ）①由已知得，∠B=∠C=30°，
在△ABD中，由BD=1，得AD=
在△ACD中，∵AC2+AD2=4=CD2，∴AC⊥AD．
平面ADC⊥平面ABD，∴AC⊥平面ABD．（5分）
②∵AC⊥平面ABD，∴VC-ABD=
（Ⅱ）
在平面内作等腰△ABC底边上的高线AE，点E为垂足，则AE=
在三棱锥C-ABD中，连接CE，作AH⊥CE于点H，
∵BD⊥AC，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，
∵AH⊂平面ACE，∴BD⊥AH，∴AH⊥平面BCD，
∴∠ACH是直线AC与平面BCD所成的角．（11分）
在Rt△ACE中，得
∴
解析
解：（Ⅰ）①由已知得，∠B=∠C=30°，
在△ABD中，由BD=1，得AD=
在△ACD中，∵AC2+AD2=4=CD2，∴AC⊥AD．
平面ADC⊥平面ABD，∴AC⊥平面ABD．（5分）
②∵AC⊥平面ABD，∴VC-ABD=
（Ⅱ）
在平面内作等腰△ABC底边上的高线AE，点E为垂足，则AE=
在三棱锥C-ABD中，连接CE，作AH⊥CE于点H，
∵BD⊥AC，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，
∵AH⊂平面ACE，∴BD⊥AH，∴AH⊥平面BCD，
∴∠ACH是直线AC与平面BCD所成的角．（11分）
在Rt△ACE中，得
∴
正确答案
45°
解析
解：PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD；
∴CD⊥PA；
又CD⊥AD，AD∩PA=A；
∴CD⊥平面PAD；
∴∠CPD是直线PC和平面PAD所成角；
PD=
∴∠CPD=45°．
故答案为：45°．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在△ABE内是否存在一点Q，使PQ⊥平面CDE，如果存在，求PQ的长；如果不存在，说明理由．
正确答案
（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结OD，OE，…（1分）
因为△ABE是正三角形，所以AB⊥OE．
因为 四边形ABCD是直角梯形，
又AB⊥BC，所以 AB⊥OD．
所以 AB⊥平面ODE，…（3分）
所以 AB⊥DE．…（4分）
（Ⅱ）解：因为平面ABCD⊥平面ABE，AB⊥OE，
所以OE⊥平面ABCD，
所以 OE⊥OD．…（5分）
如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系．
则 A（1，0，0），B（-1，0，0），
D（0，0，1），C（-1，0，1），
所以 
设平面ADE的法向量为n1=（x1，y1，z1），
则
令z1=1，则x1=1，
同理求得平面BCE的法向量为n2=
设平面ADE与平面BCE所成的锐二面角为θ，则cosθ=
所以平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为
（Ⅲ）解：设Q（x2，y2，0），因为
所以
依题意
解得 
符合点Q在三角形ABE内的条件．…（13分）
所以，存在点
解析
（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结OD，OE，…（1分）
因为△ABE是正三角形，所以AB⊥OE．
因为 四边形ABCD是直角梯形，
又AB⊥BC，所以 AB⊥OD．
所以 AB⊥平面ODE，…（3分）
所以 AB⊥DE．…（4分）
（Ⅱ）解：因为平面ABCD⊥平面ABE，AB⊥OE，
所以OE⊥平面ABCD，
所以 OE⊥OD．…（5分）
如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系．
则 A（1，0，0），B（-1，0，0），
D（0，0，1），C（-1，0，1），
所以
设平面ADE的法向量为n1=（x1，y1，z1），
则
令z1=1，则x1=1，
同理求得平面BCE的法向量为n2=
设平面ADE与平面BCE所成的锐二面角为θ，则cosθ=
所以平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为
（Ⅲ）解：设Q（x2，y2，0），因为
所以
依题意
解得
符合点Q在三角形ABE内的条件．…（13分）
所以，存在点
ABD1⊥B1C
B若
C若点B1、A、D、C在球心为O的球面上，则点A、C在该球面上的球面距离为
D若
正确答案
解析
解：以D点为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则A1（1，0，1），D1（0，0，1），B（1，1，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），
选项A：
选项B：若
∴
选项C：若点B1、A、D、C在球心为O的球面上，则该球为正方体的外接球，OA=OC=
则AC所对的圆心角为π-arccos
选项D：由选项B可知PE∥A1B，且PE=
∴Q∈面A1PD，Q∈⊂面BED，而面A1PD∩面BED=AD∴Q∈AD即A1P、BE、AD三线共点于Q．
故选C．
（1）用向量法证明E，F，G，H（2）四点共面；
（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有
正确答案
证明：（1）连接BG，则
由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，（其中
（2）因为
所以EH∥BD，又EH⊂面EFGH，BD不在 面EFGH
所以BD∥平面EFGH．
（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
由（2）知
EH∥FG，EH=FG，所以EG、FH交于一点M且被M平分，
所以
=
解析
证明：（1）连接BG，则
由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，（其中
（2）因为
所以EH∥BD，又EH⊂面EFGH，BD不在 面EFGH
所以BD∥平面EFGH．
（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
由（2）知
EH∥FG，EH=FG，所以EG、FH交于一点M且被M平分，
所以
=
A
B1
C
D
正确答案
解析
∵F为△ABC的中心，∴SF⊥平面ABC
取AF的中点O，则∵E为棱SA的中点，
∴EO∥SF
∴EO⊥平面ABC
∴∠EFO是直线EF与平面ABC所成角，
∵棱长为1
∴AF=
∴OF=
∴tan∠EFO=
故选C．
（I）求证：PD⊥BC；
（II）求二面角B-PD-C的正切值．
正确答案
解：（I）取CD的中点为O，连接PO，
∵PD=PC，∴PO⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PO⊥平面ABCD，
如图，在平面ABCD内，过O作OM⊥CD交AB于M，以O为原点，OM、OC、OP分别
为x、y、z轴，建立空间直角坐标系（如图），
可得B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，
由此可得
∴PD⊥BC；…（6分）
（II）取PD的中点E，连接CE、BE，则
∵△PCD为正三角形，∴CE⊥PD
∵
∴
∵E是PD中点，
∴BE⊥PD
∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角．…（9分）
∵
∴
由同角三角函数基本关系，得sin∠BEC=
∴
解析
解：（I）取CD的中点为O，连接PO，
∵PD=PC，∴PO⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PO⊥平面ABCD，
如图，在平面ABCD内，过O作OM⊥CD交AB于M，以O为原点，OM、OC、OP分别
为x、y、z轴，建立空间直角坐标系（如图），
可得B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，
由此可得
∴PD⊥BC；…（6分）
（II）取PD的中点E，连接CE、BE，则
∵△PCD为正三角形，∴CE⊥PD
∵
∴
∵E是PD中点，
∴BE⊥PD
∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角．…（9分）
∵
∴
由同角三角函数基本关系，得sin∠BEC=
∴
（1）求证PA⊥B1D1；
（2）求平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角θ的正弦值大小；
（3）求B1到平面PAD的距离．
正确答案
（1）证明以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，
设E为BD的中点，∵P-ABCD是正四棱锥，
∴PE⊥平面ABCD，
∵
∴P（1，1，4），
∴
∴
（2）解：设平面PAD的法向量
∵
∴
∵平面BDD1B1的法向量
∴cos＜
∴
（3）解：∵
∴B1到平面PAD的距离d=
解析
（1）证明以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，
设E为BD的中点，∵P-ABCD是正四棱锥，
∴PE⊥平面ABCD，
∵
∴P（1，1，4），
∴
∴
（2）解：设平面PAD的法向量
∵
∴
∵平面BDD1B1的法向量
∴cos＜
∴
（3）解：∵
∴B1到平面PAD的距离d=
（1）求直线EC与AF所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．
正确答案
则A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），
∴
∴
故直线EC与AF所成角的余弦值为
（2）平面ABCD的一个法向量为
设平面AEF的一个法向量为
∵
令x=1，则y=2，z=-1
∴
由图知二面角E-AF-B为锐二面角，其余弦值为
解析
则A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），
∴
∴
故直线EC与AF所成角的余弦值为
（2）平面ABCD的一个法向量为
设平面AEF的一个法向量为
∵
令x=1，则y=2，z=-1
∴
由图知二面角E-AF-B为锐二面角，其余弦值为
扫码查看完整答案与解析