热门试卷

（1）证明：取AE的中点M，连接MB1，MD，则AE⊥MB1，AE⊥MD，所以AE⊥面MDB1，则AE⊥B1D--------------------（4分）

（2）解：分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，

设面ACF的法向量为，

由有令x=1-------（7分）

设B1AC的法向量，有令x2=1，，--------------------------------（9分）

所以，

二面角F-AC-B1为锐角，故二面角F-AC-B1的余弦值为．-------------（12分）

（1）证明：连接OD，OE．

因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．

在△COD中，，同理得．

因为，．

所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．

所以∠A′OD=∠A′OE=90°

所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．

所以A′O⊥平面BCDE．

（2）方法一：

过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F

因为A′O⊥平面BCDE．

根据三垂线定理，有A′F⊥CD．

所以∠A′FO为二面角A′-CD-B的平面角．

在Rt△COF中，．

在Rt△A′OF中，=．

所以．

所以二面角A′-CD-B的平面角的余弦值为．

方法二：

取DE中点H，则OH⊥OB．

以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

则O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，-3，0），D（1，-2，0）=（0，0，）是平面BCDE的一个法向量．

设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z），．

所以，令x=1，则y=-1，．

所以是平面A′CD的一个法向量

设二面角A′-CD-B的平面角为θ，且

所以

所以二面角A′-CD-B的平面角的余弦值为

（1）证明：∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD

∵SD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD

∴SD⊥BC

∵SD∩CD=D

∴BC⊥面SDC

∵SC⊂面SDC

∴BC⊥SC；

（2）解：取AB中点N，连接MN，DN，则

∵正方形ABCD的边长为1，SD⊥底面ABCD，．

∴SD=1

∴DM=，DN=

∵棱SA的中点为M，AB中点N，

∴MN=，MN∥SB

∴∠NMD（或其补角）为异面直线DM与SB所成角

∵DM=，DN=，MN=

∴∠NMD=90°

∴异面直线DM与SB所成角为90°

（3）连接BD，∵SD⊥底面ABCD，AD，BD⊂底面ABCD

∴SD⊥AD，SD⊥BD

∴∠ADB为二面角A-SD-B的平面角

∵ABCD是正方形

∴∠ADB=45°

∴二面角A-SD-B的平面角为45°

解：（1）依题意得BB1⊥AB，BB1⊥BC，而AB，BC均在α内且相交，∴BB1⊥平面α．

以B为坐标原点，分别以BC，BB1为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则B（0，0，0），

令正方形边长为2，又∠ABC=60°，故得

，B1（0，0，2），M（0，1，0），N（0，2，λ）（0≤λ≤2）．

则．

由AB1⊥MN，得

∴，

即点N的位置在线段C1C的四等分点靠近C处．

（2）由（1）得，，，

设分别为平面MAB1，AB1N的一个法向量．

由，即，

取z1=1，得x1=0，y1=2，所以．

由，即，

取，得，所以．

则．

所以二面角M-AB1-N的余弦值为．

（Ⅰ）证明：由题设可知AD⊥DE，取AE中点O，

连接OD、BE，∵AD=DE=，∴OD⊥AE，

又∵二面角D-AE-B为直二面角，

∴OD⊥平面ABCE，

∴OD⊥BE，AE=BE=2，AB=2，

∴AB2=AE2+BE2，AE⊥BE，OD∩AE=O，

∴BE⊥平面ADE，

∴BE⊥AD，BE∩DE=E，

∴AD⊥平面BDE．…（6分）

（Ⅱ）解：取AB中点F，连接OF，则OF∥EB，

∴OF⊥平面ADE，

以O为原点，OA，OF，OD为x、y、z轴建立直角坐标系（如图），

则A（1，0，0），D（0，0，1），B（-1，2，0），

，，

设是平面ABD的一个法向量，

则，，

∴，取x=1，则y=1，z=1，

则，平面ADE的法向量，

设二面角B-AD-E的平面角为θ，

∴cosθ===．…（13分）

（Ⅰ）证明：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC．…（1分）

因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面PBC；…（3分）

（Ⅱ）解：取BC的中点O，连接PO．

因为PB=PC，所以PO⊥BC．

因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PO⊂平面PBC，

所以PO⊥平面ABCD．…（4分）

如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz．

不妨设BC=2．由直角梯形ABCD中AB=PB=PC=BC=2CD可得P（0，0，），D（-1，1，0），A（1，2，0）．

所以．

设平面PAD的法向量．

因为，所以 

令x=1，则y=-2，z=-．

所以．…（7分）

取平面BCP的一个法向量，所以cos=-．

所以平面ADP和平面BCP所成的二面角（小于90°）的大小为．…（9分）

（Ⅲ）解：在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，此时．理由如下：…（10分）

取AB的中点N，连接CM，CN，MN，则MN∥PA，AN=AB．

因为AB=2CD，所以AN=CD．

因为AB∥CD，所以四边形ANCD是平行四边形．

所以CN∥AD．

因为MN∩CN=N，PA∩AD=A，

所以平面MNC∥平面PAD（13分）

因为CM⊂平面MNC，所以CM∥平面PAD．…（14分）

解：（Ⅰ）证明：如图，

取CD中点M，连接MB，

∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，

∴平面ABCD⊥平面PAD，

又平面ABCD∩平面PAD=AD，且AD⊥DC，

∴DC⊥平面PAD，

∴DC⊥PD，

∵E，M分别为PC，DC的中点，

∴EM∥BD，

∴CD⊥EM．

∵AB∥CD，DC=2AB，M为CD中点，

∴四边形ABMD为平行四边形，

又AD⊥CD，

∴四边形ABMD为矩形，

则CD⊥BM．

又EM∩BM=M，

∴CD⊥平面EBM，

∴BE⊥DC；

（Ⅱ）解：以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

，，

设，=（1-2λ，2-2λ，2λ），

由，得，

则．

设为平面FAB的一个法向量，

由，得，取z=1，得y=-3．

∴．

平面ABP的一个法向量为，

=．

由已知可知，二面角F-AB-P为锐角，

∴二面角F-AB-P的余弦值为．

解：设正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，建立空间直角坐标系，A1（2，0，0），D（0，0，2），D1（0，0，0），B1（2，2，0），F（0，1，2），于是．

（1）设是平面EFD1B1  的一个法向量，

∵，

∴，

解得．取v=-2，

∴．

由 知直线A1D 的一个方向向量为 ．

设直线A1D 与平面EFD1B1 所成角为θ， 与 所成角为ϕ，则，

因，即直线A1D 与平面EFD1B1 所成角为．

（2）因为平面BB1E 垂直于y 轴，所以平面BB1E 的一个法向量为，

设 与 的夹角为ϕ，则，

结合图可判断所求二面角B-B1E-F 是钝角，大小为．

解：（Ⅰ）∵侧棱PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，

∴点P在平面ABC内的射影是Rt△ABC的外心，即斜边BC的中点O

取AC的中点D，连PD，DO，PO，则，

∴OP=6．∵OP⊥平面ABC，

∴OD是PD在平面ABC内的射影，

∵AC⊥OD，∴AC⊥PD．∴∠PDO为二面角P-AC-B的平面角． 

在Rt△POD中，，

∴，

故二面角P-AC-B的大小为． 

（Ⅱ）∵AC=4，，

∴．

设点B到平面PAC的距离为h，则由VP-ABC=

解方程得h=6，∴点B到平面PAC的距离等于6．