热门试卷

解：（1）取BC的中点M，连接MN，NE，

∵MN∥PB，MN⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，

∴MN∥平面PAB

∵EN∥AB，EN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴NE∥平面PAB，又MN∩NE=N

∴平面MNE∥平面PAB，ME⊂平面MNE

∴MN∥平面PAB

（2）连接PE，∵△PAD为正三角形，∴PE⊥AD，

∵四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，E为AD的中点，AE=1，∴BE⊥AD，

建立空间直角坐标系如图，得E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），D（-1，0，0），P（0，0，），C（-2，，0），

设=λ=（-2λ，λ，-λ），∴M（-2λ，λ，-λ+），=（-2λ，λ，-λ+）

=（0，，0），设平面MEB的法向量=（a，b，c），

由=b=0⇒b=0，由=-2λa-λc+λ=0⇒a=c，

平面EBC的法向量=（0，0，1），设=（-λ，0，2λ）

∵二面角M-EB-C的平面角为60°

∴cos==，解得λ=或-1（舍去），

此时，=（），=（-1，，0），

cos==-，即线面角的正弦值为．

所以，所求角的余弦值为．

（1）证明：∵点M，N分别是CE，DE的中点．

∴MN∥CD，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，

∴MN∥AB，

∵MN⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，

∴MN∥平面ABE；

（2）解：∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE

∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，

又BC∩BF=B，

∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，

∵AE=BE=4，∴AB=4，

在△ABE内，过E作AB的垂线EH，垂足为H，则EH=2，

∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥EH，

∴EH⊥平面ABCD，

设D到平面BCE的距离为d，射影为K，则由体积相等，得

VD-BCE=VE-BCD，即有d•S△BCE=•EH•S△BCD，

d•12=2•12，则d=4．

∵AD∥BC，∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE，

∴ED=5，

∵∠DEK为DE与面BCE所成角，

EK==3，

∴DE与面BCE所成角的余弦为．

解：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在ABD的射影，

即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，

设F为AB的中点，连结EF、FC，

∵D，E分别是CC1与A1B的中点，

又DC⊥平面ABC，

∴CDEF为矩形，连接DE，G是ADB的重心，

∴GE=DF，

在直角三角形EFD中，，

∵EF=1，∴，

于是，

∵，

∴AB=，，

∴，

∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为；

（Ⅱ）连结A1D，有，

∵ED⊥AB，ED⊥EF，

又EF∩AB=F，

∴ED⊥平面A1AB，

设A1到平面AED的距离为h，则，

又．

，

∴，即A1到平面AED的距离．

（法一）（1）证：∵ABC1D1，BED1F，且平面ABE∥平面C1D1F，

∠ABE=∠C1D1F=，

∴△ABE≌△C1D1F，…（3分）

∴，∴A、E、C1、F四点共面．…（6分）

（2）延长C1E，CB交于G，连接AG，过B作BH⊥AG于H，连接EH，

由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，得EB⊥平面ABCD，∴EH⊥AG，

∴∠EHB是所求的二面角的平面角，…（9分）

由△GBE∽△GCC1得=，∴GB=，在Rt△ABG中，

AG=，BH==，

∴tan∠EHB==，…（11分）

所以平面AEC1F与底面ABCD所成的锐二面角的大小为arctan．…（12分）

（法二）（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，则C1（0，0，3），F（1，0，2），A（1，，1，0），E（0，1，1），…（2分）

∴，，

∴C1F∥EA，∴A、E、C1、F四点共面．…（6分）

（2）设面EC1FA的一个法向量为=（x，y，z），∵，

由，得，

又面ABCD的一个法向量为，…（9分）

∴cos＜＞===，…（11分）

所以平面AEC1F与底面ABCD所成的锐二面角的大小为arccos．（12分）

解：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，

设P（x，0，z），则B（a，0，0）、A1（0，0，a）、．

（Ⅰ）由得，

即，∴，即P为A1B的中点，

也即A1P：PB=1时，PC⊥AB．…4′

（Ⅱ）当A1P：PB=2：3时，P点的坐标是．取．

则，．

∴是平面PAC的一个法向量．

又平面ABC的一个法向量为．

∴，∴二面角P-AC-B的大小是60°．…8′

（Ⅲ）设C1到面PAC的距离为d，则，∴C1到面PAC的距离为．…12′