热门试卷

解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC

∴AC⊥面PBD

∴AC⊥DE

（2）设AC与BD交点为F，由（1）知，

AC⊥EF

当△AEC面积的最小值是9时，

EF取得最小值3

在△PBD中，当FE⊥PB时，EF最小，此时EB=

由△BEF∽△BDP得，解得

（3）以点F为坐标原点，FB，FC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则

而

∴

而面PAB的法向量

由已知得，解得∴存在靠近点C的三等分点G满足题意

（Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD．…（2分）

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．

∴CD⊥平面ABD．…（3分）

又∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB．…（4分）

（Ⅱ）解：以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（1，1，0）．

∴．…（6分）

设平面ACD的法向量为，则，∴

令x=1，得平面ACD的一个法向量为，

∴点M到平面ACD的距离．…（8分）

（Ⅲ）解：假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°．…（9分）

设，则N（2-2λ，2λ，0），

∴，

又∵平面ACD的法向量且直线AN与平面ACD所成角为60°，

∴，…（11分）

可得8λ2+2λ-1=0，

∴（舍去）．

综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60°，此时．…（13分）

（Ⅰ）证明：∵EF∥AD，AD∥BC

∴EF∥BC且EF=AD=BC

∴四边形EFBC是平行四边形

∴H为FC的中点-------------（2分）

又∵G是FD的中点，∴HG∥CD

∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE

∴GH∥平面CDE---------------------------------（4分）

（Ⅱ）解：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD．

∵BD⊥CD，BC=2，CD=x

∴FA=2，BD=（0＜x＜2）------------（6分）

∴

∴V（x）=（0＜x＜2）------------（8分）

要使V（x）取得最大值，只须（0＜x＜2）取得最大值，

∵，当且仅当x2=4-x2，即x=时，V（x）取得最大值

在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM

∵BC⊥ED，∴BC⊥平面EMD，∴BC⊥EM

∴∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角-------（10分）

∵当V（x）取得最大值时，CD=，DB=

∴DM=BC=1，EM=

∴sin∠EMD=

即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的余弦值为．------------------------------（12分）

（1）证明：在△AOC中，∵AC=1，AO=CO=，∴AC2=AO2+CO2，∴AO⊥CO．

又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，∴AO⊥BD，

又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD．

（2）解：由（1）知，AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，

以O为原点，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（0，0，），C（，0，0），B（0，-，0），D（0，，0）

∴=（0，0，）是平面BCD的一个法向量，，，

设平面ABC的法向量为，则由，可得

所以可取．

从而cos==，

∴二面角A-BC-D的余弦值为．

（Ⅰ）证明：∵底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，

∴BC⊥CD，BC⊥CC1，

又∵CD∩CC1=C，

∴BC⊥平面DCC1D1，…（2分）

∵D1E⊂平面DCC1D1，∴BC⊥D1E．…（4分）

（Ⅱ）证明：∵BB1∥DD1，BB1=DD1，

∴四边形D1DBB1是平行四边形．

连接DB1交D1B于点F，连接EF，则F为DB1的中点．

在△B1CD中，∵DE=CE，DF=B1F，

∴EF∥B1C．…（6分）

又∵B1C⊄平面BED1，EF⊂平面BED1，

∴B1C∥平面BED1．…（8分）

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BC⊥D1E，

又∵D1E⊥CD，BC∩CD=C，

∴D1E⊥平面ABCD．…（9分）

设G为AB的中点，以E为原点，

EG，EC，ED1所在直线分别为x轴，y轴，z轴

如图建立空间直角坐标系，

设D1E=a，则E（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，a），

C（0，1，0），B1（1，2，a），G（1，0，0）．

设平面BED1法向量为=（x，y，z），

因为 ，

由，得

令x=1，得=（1，-1，0）．…（11分）

设平面BCC1B1法向量为=（x1，y1，z1），

∵，

∴由，得

令z1=1，得=（0，-a，1）．…（12分）

由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，

得 ，…（13分）

解得a=1．

∴线段D1E的长度是1．…（14分）

解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°，

即EA⊥AB，而平面ABFE∩平面ABCD=AB，

∴EA⊥平面ABCD．作FH∥EA交AB于H，则FH⊥平面ABCD．

连接DH，则∠FDH为直线FD与平面ABCD所成的角．

在Rt△FHD中，∵FH=EA=1，DH=，

∴

（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，

∴EA⊥平面ABCD．

分别以AD，AB，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（1，0，0）、C（1，2，0）、E（0，0，1）、B（0，2，0）、

F（0，1，1），

∴．

∵，∴⊥平面BCF，

即=（0，1，1）为平面BCF的一个法向量，

又，

∴点D到平面BCF的距离为．

（3）∵，设为平面CDEF的一个法向量，则令x=1，得z=1，

即．

又（1）知，为平面BCF的一个法向量，

∵＜，＞=，

且二面角B-FC-D的平面角为钝角，

∴二面角B-FC-D的大小为120°．