热门试卷

（Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO．

∵△ABC为正三角形，

∴AO⊥BC．

∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

∴AO⊥平面BCC1B1．

取B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则B（1，0，0），D（-1，1，0），，，B1（1，2，0），

∴，，．

∵，，

∴，．

∴AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）解：设平面A1AD的法向量为=（x，y，z）．，．

∵，，

∴，

∴，

∴．

令z=1得平面A1AD的一个法向量．

由（Ⅰ）知AB1⊥平面A1BD，

∴为平面A1BD的法向量．

cos＜n，．

∴二面角A-A1D-B的大小为θ，

∴；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知， 为平面A1BD法向量，

∵．

∴点C到平面A1BD的距离．

解：设AB=a，PA=b，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），E（a，a，）．

（Ⅰ）证明：，

∴．

又∵BE⊄平面PAD

∴BE∥平面PAD．

（Ⅱ）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即．

又∵，

∴．即b=2a

在平面BDE和平面BDC中，，

∴平面BDE的一个法向量为，

平面BDC的一个法向量为，

∴．

∴平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为．

解：（1）证明：∵点F为线段BC的中点，O为AC的中点，

∴OF∥AB

又∵OF⊂平面EOF，AB⊄平面EOF

∴AB∥平面EOF

（2）∵二面角D-AC-B为直二面角，连接OB，OD，

∵AD=DC，

∴OD⊥AC

则OD⊥平面ABC

又∵AB=BC

∴OB⊥OC

以O为坐标原点，OB，OC，OD，分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，

序曲OA=OB=OC=OD=2a

∵E、F分别为线段AD、BC的中点

∴A（0，-2a，0），B（2a，0，0），C（0，2a，0），D（0，0，2a），E（0，-a，a），F（a，a，0）

∴=（0，-a，a），=（a，a，0）

设平面EOF的法向量为=（x，y，z）

则，即

设x=-1，则=（-1，1，1）

平面OBF的法向量为=（0，0，1）

∵cos＜，＞==

∴二面角E-OF-B的大小为arccos

解：（1）证明：∵AD=2AB=2，E是AD的中点，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，

又∵平面D‘EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC

∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．               

（2）如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．

则

设平面BEC的法向量为；平面D'BC的法向量为

，

代入整理可得：

不妨取x2=l

得，

∴

∴二面角D'-BC-E的余弦值为．

解：（Ⅰ）根据已知条件知四边形ABCD是菱形，O是AC中点；

又M点是BC中点，∴OM是△ABC的中位线；

∴OM∥AB，AB⊂平面ABD，OM⊄平面ABD；

∴OM∥平面ABD；

（Ⅱ）如图，根据已知OB=OD=3，BD=3；

∴∠BOD=90°，即OB⊥OD，又由已知条件OD⊥OC，OC⊥OB；

∴OD，OC，OB三条直线两两垂直，所以分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；

则能确定以下几点坐标：

O（0，0，0），A（（0，-3，0），B（0，0，3），D（3，0，0）；

取BD中点E并连接OE，AE，∵OB=OD，AB=AD；

∴BD⊥OE，BD⊥AE；

∴∠AEO是二面角A-BD-O的平面角，∠AEO等于向量的夹角；

E（，0，），；

∴=；

∴二面角A-BD-O的余弦值为．

（Ⅰ）证明：连接AD1，则D1C1∥DC∥AB，∴A、E、C1、D1四点共面，

∵C1E∥平面ADD1A1，则C1E∥AD1，

∴四边形AEC1D1为平行四边形，

∴AE=D1C1=1，

∴E为AB的中点．（6分）

（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A（2，0，0），

 E（2，1，0），C1（0，1，2），=（2，1，0），

=（0，1，2），=（0，1，0），=（-2，1，2），

设平面DEC1的法向量为=（x，y，z），则，

令x=1，得=（1，-2，1）．

设平面AEC1的法向量为=（a，b，c），则，令a=1，得=（1，0，1）．

cos＜，＞==

故二面角A-C1E-D的余弦值为．（12分）

（Ⅰ）证明：作AB的中点E，连结PE，CE，

∵BC=AC，∠PCA=∠PCB，PC=PC，

∴△PBC≌△PAC，

∴PB=PA，

∴PE⊥AB，

∵AC=BC，E为AB的中点，

∴CE⊥AB，

∵CE⊂平面PEC，PE⊂平面PEC，PE∩CE=E，

∴AB⊥平面PEC，

∵PC⊂平面PEC，

∴PC⊥AB； 

（Ⅱ）△PAB的重心为G，△ABC的中心为O，且PE，CE分别为△PAB，△ABC的中线，

∴G，O分别在PE，CE上，

∴==，

∴OG∥PC，

∵PC⊂平面APC，OG⊄平面APC，

∴OG∥平面PAC．

（Ⅲ）①作BC的中点F，连结AF，

∵AB=AC，

∴AF⊥BC，

∵面PBC⊥底面ABC，面PBC∩底面ABC=BC，

∴AF⊥平面BCP，

∵PC⊂平面BCP，

∴AF⊥PC，

∵PC⊥AB，AB∩AF=A，AB⊂平面ABC，AF⊂平面ABC，

∴PC⊥平面ABC．

②∵PC⊥平面ABC．

∴PC⊥AC，PC⊥BC，

∴∠ACB为二面角A-PC-B，

∵PE⊥AB，CE⊥AB，

∴∠PEC为平面APB和平面ABC的二面角，

∴∠PEC=∠ACB=60°，

∴在Rt△PEC中，PC=tan60°•EC=3，

∴BP==，

作FH⊥PB，连结AH，

∵AE⊥平面BCP，

∴BP⊥AE，

∴BP⊥平面AFH，

∵AH⊂平面AFH，

∴BP⊥AH，

∴二面角A-PB-C为∠AHF，

∵∠CBP=∠PBC，∠FHB=∠PCB=90°，

∴△BFH∽△BPC，

∴=，

∴FH=•PC=×3=，

∴在Rt△AFH中，tan∠AHF===．

（Ⅰ）证：∵底面ABCD是边长为1的菱形，，

PA⊥底面ABCD，PA=2，M为PA的中点，N为BC的中点．AF⊥CD于F，

∴由题设知：在Rt△AFD中，，

∴A（0，0，0），B（1，0，0），F（0，，0），

D（，，0），P（0，0，2），M（0，0，1），N（1-，，0），…（4分）

∴，…（5分）

，…（6分）

设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z）

则，∴，

令z=，得=（0，4，），

∴平面PCD的一个法向量=（0，4，）…（8分）

∵=0+=0，

∴MN∥平面PCD．…（10分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得平面PCD的法向量（0，4，），

平面ADC的一个法向量为…（12分）

设二面角P-CD-A的平面角为α，

则

∴二面角P-CD-A的余弦值为．…（14分）