热门试卷

（ I）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得

D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），

A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）…（2分）

设E（0，2，t），则=(-2，0，t)，=(-2，0，-4)．

∵BE⊥B1C，

∴可得•=4+0-4t=0．解之得t=1，

∴E（0，2，1），且=(-2，0，1)．

又∵=(-2，2，-4)，=(2，2，0)，…（4分）

∴•=4+0-4=0

且•=-4+4+0=0…（6分）

∴⊥且⊥．

∵BD、BE是平面BDE内的相交直线．

∴⊥平面BDE…（8分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐标系，得

=(-2，2，-4)是平面BDE的一个法向量，

又∵=(0，2，-4)，

∴cos＜，＞==，

因此，可得A1B与平面BDE所成角的正弦值为…（12分）

法一（几何法）：

证明：（1）∵AC=BC=a

∴△ACB是等腰三角形，

又D是AB的中点∴CD⊥AB，

又VC⊥底面ABC∴VC⊥AB

于是AB⊥平面VCD．

又AB⊂平面VAB∴平面VAB⊥平面VCD

（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，连接BH

则由（1）知AB⊥CH，∴CH⊥平面VAB

于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．

在Rt△CHD中，CD=a，CH=asinθ；

设∠CBH=φ，在Rt△BHC中，CH=asinφ∴sinθ=sinφ∵0＜θ＜∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜

又0≤φ≤，∴0＜φ＜

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0，)．

法二（向量法）：

证明：（1）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D(，，0)，V(0，0，atanθ)，

于是，=(，，-atanθ)，=(，，0)，=(-a，a，0)．

从而•=(-a，a，0)•(，，0)=-a2+a2+0=0，即AB⊥CD．

同理•=(-a，a，0)•(，，-atanθ)=-a2+a2+0=0，

即AB⊥VD．又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．

又AB⊂平面VAB．∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），

则由n•=0，n•=0．

得

可取n=(1，1，cotθ)，又=(0，-a，0)，

于是sinφ=||==sinθ，

∵0＜θ＜，∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜．

又0≤φ≤，∴0＜φ＜．

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0，)．

（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．

因为SA=SB，所以AO=BO．

又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB

如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz

A(，0，0)，B(0，，0)，C(0，-，0)，S（0，0，1），=(，0，-1)，=(0，2，0)，

•=0，

所以SA⊥BC

（2）取AB中点E，E(，，0)，

连接SE，取SE中点G，连接OG，G(，，)．

=(，，)，=(，，1)，

=(-，，0)．•=0，•=0，

OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．

∴OG⊥平面SAB，与的夹角记为α，SD与平面SAB所成的角记为β，则α与β互余

D(，2，0)，=(-，2，1)．

cosα==，

∴sinβ=，

（3）由上知为平面SAB的法向量，=(，)

易得D（，-2，0）

=(0，2，0)，=(，0，-1)

同理可求得平面SDA的一个法向量为=(1，0，)

∴cosθ==

由题知所求二面角为钝二面角，故二面角D-SA-B的大小为150°．

由题设CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC

所以，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（0，2，2），

所以D（0，0，1），E（1，1，1），G(，，)．（2分）

（1）=(-，-，-)，=(0，-2，1)（4分）

所以•=-=0，

∴⊥

所以，直线EG与直线BD所成的角为．（5分）

（2）=(-2，2，-2)（6分）=(-2，2，0)，=(-2，0，1)

设=(x0，y0，z0)为平面ABD的一个法向量

则，

∴

取=(1，1，2)．（8分）

设A1B与平面ADB所成的角为θ

则sinθ=|cos〈＞|==．

即：A1B与平面ADB所成的角为正弦值为．（10分）

解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2．

∵F为BCC1B1中心，E为AB中点．

∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=．

∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH．

∴tan∠FEH===．…（6分）

（2）取A1C中点O，连接OF，OA，则OF∥AE，且OF=AE．

∴四边形AEFO为平行四边形．∴AO∥EF．

∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角．

∵A1A=2，AO=A1O=．

∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．…（12分）

解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），B1（0，0，2），E（0，1，0），F（1，0，1），C（2，0，0），A1（0，2，2）．

（1）=（1，-1，1），=（0，0，2），且为平面ABCD的法向量．

∴cos＜，＞=．

设直线EF与平面ABCD所成角大小为θ．

∴sinθ=，从而tanθ=．…（6分）

（2）∵=（2，-2，-2），∴cos＜，＞=．

∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为．…（12分）

证明: （1）连结AC，H是线段AC的中点，

又F为线段EA的中点，

所以FH // CE，

又FH不在平面CDE内，CE平面CDE，

所以FH // 平面CDE.

（2）在平面ABE内，过F作AB的垂线交AB于M，连结MH，

平面ABCD⊥平面AEB，FM⊥AB，

所以FM⊥平面ABCD，

∠FHM就是直线FH与平面ABCD所成的角θ， ；

过H作AB的垂线交AB于N，设，，

则，，，

所以

当时，取得最大值，有最小值，

又， 得.

所以tanθ的最小值是.

（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中

A1B1⊥平面BC1

∴A1B1⊥BC1

又∵B1C⊥BC1

∴BC1⊥平面A1C

设B1C∩BC1=H，

则∠C1A1H是直线A1C1与平面A1B1CD所成角

又∵A1C1=a，C1H=a

∴sin∠C1A1H=

∴∠C1A1H=30°

（2）直线BC1∥平面EB1D，理由如下：

取DB1的中点O，则OH∥DC∥AB，OH=EB

∴四边形OHBE是平行四边形

∴BH∥EO

∴EO∥平面EB1D，

∴BC1∥平面EB1D

证明：（3）∵BC1⊥平面A1C，BH∥EO

∴EO⊥平面B1CD

∵EO⊂平面EB1D

平面EB1D⊥平面B1CD

（Ⅰ）证明：连接AC，BD交于点O，在四边形ABCD中，

∵AB=AD=4，BC=CD=

∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴AC⊥BD

又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC

∴BD⊥平面PAC…（6分）

（Ⅱ）如图，过点P作AC的垂线，垂足为H，连接EH，EC，并取AO中点F，连接EF，

∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC，PH⊥AC

∴PH⊥平面ABCE，∴∠PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，

由（Ⅰ）可知，AC⊥BD，且AO=2，CO=，

又PE=2，PC=，设CH=x，则有PH=，EH==

又∵F为AO的中点，在Rt△EFH中，FH=2-x，EF=1

由勾股定理得，(2-x)2+1=x2-3，解得x=，

∴EH=，PH=

∴直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即sin∠PEH==．