热门试卷

（1）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是A1A，B1B的中点，

∴D1（0，0，2），N（2，2，1），A（2，0，0），D（0，0，0）

∴=（2，2，-1），

设直线D1N与平面A1ABB1所成角为θ，

∵平面A1ABB1的一个法向量=（2，0，0），

∴sinθ=|cos＜，＞|=||=，

∴直线D1N与平面A1ABB1所成角的大小为arcsin．

（2）∵C（0，2，0），M（2，0，1），

∴=（2，-2，1），

设直线CM与D1N所成角的为α，

∵=（2，2，-1），

∴cosθ=|cos＜，＞|=||=，

∴sinθ==．

直线CM与D1N所成角的正弦值为．

（3）∵M（2，0，1），B（2，2，0），D1（0，0，2），N（2，2，1），

∴=(2，0，-1)，=（2，2，-2），=（2，2，-1），

设平面D1MB的法向量=(x，y，z)，

则•=0，•=0，

∴，∴=(1，1，2)，

∴点N到平面D1MB的距离d===．

（理）（1）∵DA⊂平面ABD，

AB是BC‘在平面ABD内的射影，

DA⊥AB，

∴DA⊥BC’，BC‘⊥DC’，

∴BC‘⊥平面ADC’．…（4分）

（2）∵BC'⊥平面ADC'，

∴，

∴∠DC'A是二面角A-BC'-D的平面角…（6分）

∵BC‘⊥平面ABC’，

∴DA⊥BC‘，DA⊥AB，

∴DA⊥面ABC'，

∴DA⊥AC’．…（7分）

在Rt△AC'D中，sin∠DC'A===．

所以，二面角A-BC'-D的大小为arcsin．…（8分）

（3）作AM⊥DC'于M，连接BM，

∵BC‘⊥面ADC’，

∴面ADC‘⊥面BDC’，

∵AM⊥DC‘，

∴AM⊥面BC'D，

∴∠ABM是AB与平面BC'D所成的角，…（10分）

在Rt△DAC'中，AM•DC'=AD•AC'，

∴AM===，…（11分）

在Rt△ABM中sin∠ABM===，

所以，AB与平面BC'D所成的角为arcsin．…（12分）

证明：（1）如图一，连接AC1与A1C交于点K，连接DK．

在△ABC1中，D、K为中点，∴DK∥BC1、（4分）

又DK⊂平面DCA1，BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1、（6分）

图一　　　　　　　　　图二　　　　　　　　图三

（2）证明：（方法一）如图二，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、（8分）

取A1B1的中点E，又D为AB的中点，∴DE、BB1、CC1平行且相等，

∴DCC1E是平行四边形，∴C1E、CD平行且相等．

又CD⊥平面ABB1A1，∴C1E⊥平面ABB1A1，∴∠EBC1即所求角、（10分）

由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．

设AC=BC=BB1=2，∴BC1=2，EC1=，∠EBC1=30°、（12分）

（方法二）如图三，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、（8分）

取DA1的中点F，则KF∥CD，∴KF⊥平面ABB1A1．

∴∠KDF即BC1与平面ABB1A1所成的角．（10分）

由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．

设AC=BC=BB1=2，∴KF=，DK=，∴∠KDF=30°、（12分）

（1）如图所示：由正方体可知：B1B⊥底面ABCD，∴∠FDB为DF与平面ABCD所成的角．

不妨设正方体的棱长AB=2，则BD=2．

∵F分别是BB1的中点，∴BF=1．

在Rt△BFD中，tan∠BDF===．

∴DF与平面ABCD成角的正切值是．

（2）∵E，F分别是AB，BB1的中点，∴EF∥AB1．

∵A1B⊥AB1，∴EF⊥A1B．

由正方体可知：D1A1⊥EF，又D1A1∩A1B=A1．

∴EF⊥平面A1BD1．