热门试卷

(1); (2).

试题分析：由于是直三棱柱,且底面是直角三角形,便于建立空间直角坐标系.

建立适当的空间直角坐标系,利用向量的夹角公式列方程,求出的值.

在(1)的基础上,确定的坐标,设出平面的法向量与平面的法向量,

根据向量垂直的条件求出法向量,最后用向量的夹角公式求出,这就是所求锐二面角的余弦值.

试题解析：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，（）                                  1分

∴， ∴       3分

∵异面直线与所成的角

∴ 即               5分

又，所以                                    6分

(2)设平面的一个法向量为，则

，，即且

又，

∴，不妨取                          8分

同理得平面的一个法向量                10分

设与的夹角为，则      12分

∴                                           13分

∴平面与平面所成的锐二面角的大小为    14分

直线与平面所成角的大小为

法一： 由题意，可得体积，

．连接． ，

平面，

是直线与平面所成的角．

，，

则 ＝．即直线与平面所成角的大小为．

法二： 由题意，可得

体积，

，

如图，建立空间直角坐标系． 得点，

，． 则，

平面的法向量为．

设直线与平面所成的角为，与的夹角为，      

则，  ，

即直线与平面所成角的大小为．  

（1）过P作PH⊥BC于足H，连DH，

∵面BC′⊥面AC，则PH⊥面ABCD，

∴DP和面ABCD所成角即为∠HDP．

在正方形BCC′B′，M，N分别为BB′，B′C′中点，P为MN中点，

又B′C′=1，则PH=，BH=，CH=，

DH===

在Rt△PHD中，tan∠HDP==(6分)

（2）建立如图空间直角坐标系

A(0，0，1)，C′(1，1，0)，则=(1，1，-1)，

D(0，1，1)，P(1，，)．

则=(1，-，-)

设和夹角为θ

cosθ==θ=arccos=arccos(12分)

（Ⅰ）为的四等分点；（Ⅱ） .

试题分析：（Ⅰ）用向量法的解题步骤是建立恰当的空间直角坐标系，写出相应的点的坐标及向量的坐标，利用向量的数量积为0，则这两个向量垂直，得出结论；（Ⅱ）二面角的问题，找到两个平面的法向量的夹角，利用向量的夹角公式求解.

试题解析：方法一：

(Ⅰ)如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则

易得       2分

由题意得,设

又

则由得，

∴,得为的四等分点.         6分

(Ⅱ)易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为

则,得，取，得，      10分

∴，∴二面角的平面角余弦值为.12分

方法二：

（Ⅰ）∵在平面内的射影为，且四边形为正方形，为中点， ∴

同理，在平面内的射影为，则

由△～△， ∴,得为的四等分点.        6分

（Ⅱ）∵平面,过点作，垂足为；

连结，则为二面角的平面角；          8分

由，得,解得

∴在中，,

∴；∴二面角的平面角余弦值为.  12分

(1)见解析(2)异面直线与所成角的余弦值为(3)所求二面角的大小为

(l)证明：取的中点，的中点．连结．

故．又四边形为平行四边形，∥．又三棱柱是直三棱柱．△为正三角形．平面，，而，平面，又∥，平面．

又平面．所以平面平面．…………………………4分

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则

设异面直线与所成的角为，则

故异面直线与所成角的余弦值为

(3)由(2)得

设为平面的一个法向量．

由得，

即……………………………………6分

显然平面的一个法向量为．

则，故．

即所求二面角的大小为  ………………12分

21

：＝Þ△ACD∽△ABCÞ∠ABC＝∠ACD＝∠BCE．

∴ CE＝BE＝12．AE＝AB－BE＝16．

∴ cosA＝＝＝＝．

∴ BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝142＋282－2·14·28·＝72·9ÞBC＝21．

(1) 证明略，(2)证明略(3)

 (1)证明: ∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，

∴C1D1⊥A1B1于D1，

又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，

∴C1D1⊥平面A1B1BA，

而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1 

(2)证明:连结D1D，

∵D是AB中点，∴DD1CC1，∴C1D1∥CD，

由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，

由三垂线定理得BD1⊥AB1，

又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD 

(3)解 由(2)AB1⊥平面A1CD于O，

连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，

∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=，

∴∠OCA=.