热门试卷

（1）几何体的体积为；（2）详见试题解析；（3）二面角的大小为．

试题分析：（1）将几何体补成如图的直四棱柱，利用计算几何体的体积；（2）详见试题解析；（3）取的中点，因为分别为的中点，所以∥，以分别为轴建立坐标系，利用法向量求二面角的大小．

试题解析：（1）将几何体补成如图的直四棱柱，则        3分

（2）连接，交于，因为四边形为菱形，，所以．因为、都垂直于面,，又面∥面，所以四边形为平行四边形，则，因为、、都垂直于面,则，所以，所以为等腰直角三角形．           7分

（3）取的中点，因为分别为的中点，所以∥，以分别为轴建立坐标系，则，所以．平面为的中点，平面．由知二面角的大小为．二面角的大小为．

12分

（Ⅰ）（Ⅱ）

本试题主要是考查了线面角的大小的求解和二面角平面角的大小的求解的综合运用。

（1）因为利用空间直角坐标系，建立后表示点的坐标得到向量的坐标，从而利用平面的法向量和直线的方向向量来表示线面角的求解。

（2）同上结合平面的法向量来表示二面角的平面角的大小，从而得到向量的夹角相等或者互补。

解：（Ⅰ）如图建系，

S(0,0,2), C(2,2,0), D(1,0,0),

，故平面ASD的一个法向量为……………3分

设SC与平面ASD所成的角为则

故，即SC与平面ASD所成的角余弦为…………………6分

（Ⅱ）平面SAB的一个法向量为

设平面SCD的一个法向量为

由令z=1可得平面SCD的一个法向量为

显然，平面SAB和平面SCD所成角为锐角，不妨设为则

即平面SAB和平面SCD所成角的余弦………………12分

试题分析：（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值；（2）分别求出平面的法向量与的法向量，利用法向量能求出平面与所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面与所成二面角的正弦值．

试题解析：（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系,

则,,,,,．

,

异面直线与所成角的余弦值为．

（2） 是平面的的一个法向量，设平面的法向量为,

，，

由，得 ，取,得，,

所以平面的法向量为．

设平面与所成二面角为 ．

, 得．

所以平面与所成二面角的正弦值为．

（1）连接OC。由已知，所成的角

设AB的中点为D，连接PD、CD.

因为AB=BC=CA,所以CDAB.

因为等边三角形，

不妨设PA=2，则OD=1，OP=,AB=4.

所以CD=2，OC=.

在Rttan.

故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan…………………6分

（2）过D作DE于E，连接CE.       

由已知可得，CD平面PAB.

根据三垂线定理可知，CE⊥PA，

所以，.

由（1）知，DE=

在Rt△CDE中，tan

故……………………………12分

[点评]本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力.

（1）略

（2）二面角A－PB－D的大小为60°.

（Ⅰ）证明:,

.……2分

又,……4分

∴  PD⊥面ABCD………6分

（Ⅱ）解:连结BD,设BD交AC于点O,

过O作OE⊥PB于点E,连结AE,

∵PD⊥面ABCD, ∴,

又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.

∴AO⊥PB,

∵,

∴,从而,

故就是二面角A－PB－D的平面角.……………………8分

∵ PD⊥面ABCD,  ∴PD⊥BD,

∴在Rt△PDB中, ,

又∵,   ∴,………………10分

 ∴ .

故二面角A－PB－D的大小为60°. …………………12分

（也可用向量解）

（2）tanBAD=

(1)证明：连结DH，∵C′H⊥平面ABD，∴∠C′DH为C′D与平面ABD所成

的角且平面C′HA⊥平面ABD，过D作DE⊥AB，垂足为E，则DE⊥平面C′HA.

故∠DC′E为C′D与平面C′HA所成的角

∵sinDC′E=≤=sinDC′H

∴∠DC′E≤∠DC′H,

∴∠DC′E+∠C′DE≤∠DC′H+∠C′DE=90°

(2)解：作HG⊥AD，垂足为G，连结C′G,

则C′G⊥AD，故∠C′GH是二面角C′—AD—H的平面角

即∠C′GH=60°，计算得tanBAD=