热门试卷

(I)   （2）

略       

（1）；（2）．

试题分析：由已知有AC、BC、CC1两两互相垂直，故可分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.然后由已知就可写出所需各点的空间坐标．（1）由此就可写出向量的坐标，然后再由两向量的夹角公式：求出这两向量的夹角的余弦值，最后转化为对应两直线的夹角大小；只是应该注意两直线的夹角的取值范围是，而两向量的夹角的取值范围是；所以求出两向量的夹角的余弦值后取绝对值才是两直线的夹角的余弦值；（2）由中点坐标公式可求得点Ｅ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再设平面的一个法向量为,由,就可求出平面的一个法向量，从而就可求得这两向量夹角的余弦值，注意直线与平面所成的角的正弦值就等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值．

试题解析：解：分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则由题意可得：,,,,,,

又分别是的中点，,.                     3分

（1）因为， ，

所以，                     7分

直线与所成角的大小为.                                      8分

（2）设平面的一个法向量为,由,得,

可取，                                                    10分

又，所以，      13分

直线与平面所成角的正弦值为.                             14分

(1)平行

(2)

(3) 所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE

如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，

   又AB平面DEF，EF平面DEF.  ∴AB∥平面DEF.   

（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，

平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为

则即，

（Ⅲ）设

又      

所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE 。

（Ⅰ）点M为BC边的中点  

（Ⅱ）∴点C到平面AMC1的距离为底面边长为

（Ⅲ）二面角M—AC1—C的大小为45°

本试题主要考查了立体几何中，空间点线面的位置关系的运用。第一问中，利用△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥C1M且AM=C1M

又因为CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM，AM⊥CM。所以点M为BC边的中点

二问中，利用作辅助线，表示，即为所求

三问中，过点C作CI⊥AC1于I，连HI，∵CH⊥平面C1AM，作出二面角的大小，然后借助于定义法得到结论。

（Ⅰ）∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥C1M且AM=C1M

∵三棱柱ABC—A1B1C1，∴CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM，AM⊥CM。

∵底面ABC为边长为a的正三角形，∴点M为BC边的中点         --------------------4分

（Ⅱ）过点C作CH⊥MC1，由（Ⅰ）知AM⊥C1M且AM⊥CM，

∴AM⊥平面C1CM        ∵CH在平面C1CM内，∴CH⊥AM，

∴CH⊥平面C1AM

由（Ⅰ）知，AM=CM=,CM=

∴∴

∴点C到平面AMC1的距离为底面边长为-------------------8分

（Ⅲ）过点C作CI⊥AC1于I，连HI，∵CH⊥平面C1AM，

HI⊥AC1，∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角

∴HI为CI在平面C1AM内的射影，

∴HI⊥AC1，∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角，在直角三角形ACC1中     ，

∴∠CIH=45°，        ∴二面角M—AC1—C的大小为45°