热门试卷

如图，延长，交于，连接，则为平面与平面的交线．

平行且等于，．

在中，，，

所以，．

平面．

可证，则为二面角的平面角．

又，

则平面与平面所成锐二面角的大小为

（1）祥见解析；(2)．

试题分析：由已知四边形是正方形，知其两条对角线互相垂直平分，且，又因为平面平面，平面，故可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系；又因为正方形ACDE的边长为2，且三角形ABC是以角C为直角的直角三角形，从而就可以写出点A，B，C，E及点M的空间直角坐标；则（1）求出向量的坐标，从而可证，这样就可证明直线AM与平面EBC内的两条相交直线垂直，故得直线AM与平面EBC垂直；(2)由（1）知是平面EBC的一个法向量，其坐标已求，再设平面EAB的一个法向量为，则由且，可求得平面EAB的一个法向量；从而可求出所求二面角的两个面的法向量夹角的余弦值，由图可知所求二面角为锐二面角，故二面角的余弦值等于两个面的法向量夹角余弦值的绝对值，从而就可求得所求二面角的大小．另本题也可用几何方法求解证明．

试题解析：∵四边形是正方形 ， ，

∵平面平面，平面，           

∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，    

分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，

是正方形的对角线的交点，．

(1) ，，，

，    

平面．        

(2) 设平面的法向量为，则且，

且．

     即      

取，则， 则．

又∵为平面的一个法向量，且，

，

设二面角的平面角为，则，

∴二面角等于．

（1） ，（2）均可用几何法

⑴连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB=60°,故△ABD为正三角形,又G为ＡD的中点，所以，ＢG⊥ＡＤ．

△PAD为正三角形，G为AD的中点,所以，PG⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD,

平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以，ＰG⊥面ABD，故 PG⊥BG

所以，ＢG⊥平面PAD.

（2）易知△PBG为等腰直角三角形，可知PB与面ABCD所成角为45。

略

（1）证明 取中点，连结．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（2）解，，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中点．连结．

，．

是在平面内的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小为．

略

（1）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC≌△ABD，BC=BD.取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM. ∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.

（2）过A作于O，∵CD⊥平面ABM，∴CD⊥AO，∴AO⊥面BCD，

∴BM是AB在面BCD内的射影，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.

在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，. 

在△ACD中， AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=.

在Rt△BCM中，BC=，CM=1，

.

略