热门试卷

解：连接，                         …… 2分

，且，

∴是平行四边形，则，     …… 4分

∴异面直线与所成的角就是与所成的角.  …… 6分

由平面，得.

在△中，，则

，                        …… 11分

∴异面直线与所成角的正切值    …… 12分

如图，在上取一点，使，过作交于，作交于，连接，则为所求二面角的平面角．

由，

，．

由．

，

二面角的大小为

（Ⅰ）取BD的中点P，连结EP、FP，则PF，

又∵EA，∴EAPF，……………………2分

∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，

又∵面平面，

∴AF∥面BDE.…………………………………………4分

（Ⅱ）以CA、CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立如图所示坐标系.…………………5分

由可得：A（2，0，0，），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2）

则.………………………6分

∵面面，面面，∴面

∴是面的一个法向量.………………………………8分

设面的一个法向量n=(x,y,z),则n，n.

∴即整理，得令，则

所以n=(1,1,2)是面的一个法向量.……………………………10分

故.

图形可知二面角的平面角，所以其余弦值为.

略

（I）证明见解析。

（II）M为线段CD中点时，最大。

方法一：

（I）证明：平面PAD，

                                     2分

过P作AD的垂线，垂足为O，则PO平面ABCD。

过O作BC的垂线，交BC于H，以OH，OD，OP为x

轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

是二面角P—PC—A的平面角，，

又

得

故                                                                     4分

设平面EFG的一个法向量为则

                       6分

而

故PA//平面EFG。                         7分

（II）解：设M（x，2，0），则，                                        9分

设MF与平面EFG所成角为，

则                                12分

故当取到最大值，则取到最大值，此时点M为线段CD的中点。14分

方法二：

（I）证明：取AD的中点H，连结EH，HG。                                                        2分

H，G为AD，BC的中点，∴HG//CD，又EF//CD。

∴EF//HG，

∴E，F，G，H四点共面

又∵PA//EH，EH平面EFGH，PA平面EFGH，

∴PA//平面EFG。                            7分

（II）解：过M作MO⊥平面EFG，垂足O，连结OF，

则即为MF与平面EFG所成角，因为CD//EF，

故CD//平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离

MO为定长，故要使最大，只要MF最短，故当

时，即M为线段CD中点时，最大。