热门试卷

解：以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz

则

从而

∴PN⊥AM；

（2）平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）

则sinθ=|cos<>|=  （*）

而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，（θ=除外）

由（*）式，当λ=时，（sinθ）max=

此时cosθ=

因此当λ=时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大。其余弦值为。

解：（1）设BD=x，则CD=3-x

∵∠ACB=45°，AD⊥BC，

∴AD=CD=3-x

∵折起前AD⊥BC，

∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D

∴AD⊥平面BCD

∴VA-BCD= ×AD×S△BCD= ×（3-x）× ×x（3-x）= （x3-6x2+9x）

设f（x）= （x3-6x2+9x）  x∈（0，3），

∵f′（x）= （x-1）（x-3），

∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数

∴当x=1时，函数f（x）取最大值

∴当BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大。

（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D-xyz，

由（1）知，三棱锥A-BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2

∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（，1，0），

且=（-1，1，1）设N（0，λ，0），

则=（-，λ-1，0）

∵EN⊥BM，

∴·=0

即（-1，1，1）（-，λ-1，0）=+λ-1=0，

∴λ=，

∴N（0，，0）

∴当DN=时，EN⊥BM

设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），

由及=（-1，，0）得，

取=（1，2，-1）

设EN与平面BMN所成角为θ，

则=（-，，0）

sinθ=|cos＜，＞|=||==

∴θ=60°

∴EN与平面BMN所成角的大小为60°

。

解：（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE，CE，

由AB=CD，CB=CD，得，AE⊥BD，CE⊥BD

∴∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，∴cos∠AEC=

在△ACE中，AE=，CE=，

=，∴AC=2

（Ⅱ）由

∴，，∴

∴，又BC∩CD=C，∴AC⊥平面BCD；

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知BD⊥平面ACE，BD平面ABD，

∴平面ACE⊥平面ABD，平面ACE∩平面ABD=AE

作CF⊥AE于F，则CF⊥平面ABD

∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，∴sin∠CAF=sin∠CAE=；

方法二：设点C到平面ABD的距离为h，

∵，∴

∴h=，于是AC与平面ABD所成角的正弦为sin=；

方法三：以CB，CD，CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立的空间直角坐标轴系C-xyz，

则A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，0，0），D（0，2，0）

设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则·=0，·=02x-2z=0，y-2z=0

取 x=y=1，则=（1，1，1），于是AC与平面ABD所成角的正弦即：

（1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，O三角形BCD的中心．

连接DO作EO1⊥OD交OD于O1点，连接CO1

∵AB=AC=AD=a，AO⊥平面BCD∴O为△BCD为外心

（2）作AF⊥CD交CD于F，连接OF．

∵AO⊥平面BCD∴AO⊥CD

又∵AF⊥CD∴CD⊥平面AFO

∴CD⊥OF∴∠AFO为二面角A-CD-B的平面角．

在Rt△AOF中AF=a，AO=a

∴cos∠AFO=．

（3）∴OD=×a=a∴在Rt△AOD中，AO==a

∵AE=DE，EO1∥AO∴EO1=AO=a

∵AO⊥平面BCD，EO1∥AO∴EO1⊥平面BCD

∴∠ECO1是CE与平面BCD所成的角

在Rt△EO1C中，sin∠ECO1===

解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，

∴。

（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE。

证明：连结AC，

∵ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，

∵PC⊥底面ABCD且BD平面ABCD，

∴BD⊥PC，

又AC∩PC=C，

∴BD⊥平面PAC，

∵不论点E在何位置，AE平面PAC，

∴都有BD⊥AE。

（3）连结BE，

∵PC⊥平面ABCD，

∴AB⊥PC，

又AB⊥BC，BC∩PC=C，

∴BA⊥平面PBC，

∴∠AEB是直线AE与平面PBC所成的角，

在直角△ABE中，tan∠AEB=，

∴直线AE与平面PBC所成的角的正切值为。