热门试卷

（Ⅰ）如图建立空间坐标系D-xyz，记异面直线DE与FC1所成的角为α，则α等于向量，的夹角或其补角，

∵E、F分别是棱A1D1，A1B1的中点，D（0，0，0），E（1，0，2），F（2，1，2），C1（0，2，2）

∴=(1，0，2)，=(-2，1，0)

∴cosα=||=||=

（II）由题意，=(1，0，2)，=(2，2，0)

设面EFBD的法向量为=(x，y，1)

由，得=(-2，2，1)

又=(-2，0，2)

记BC1和面EFBD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=||=

∴BC1和面EFBD所成的角为．

（III）点B1到面EFBD的距离d等于向量在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，

∵B（2，2，0），B1（2，2，2），∴=(0，0，2)

∵=(-2，2，1)

∴d===．

解：（1）∵BC∥B1C1，

∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角（或它的补角），

∵∠ABC=90°，AB=BC=1，

∴∠ACB=45°，

∴异面直线B1C1与AC所成角为45°。

（2）∵AA1⊥平面ABC，

∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA1=45°，

∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=，

∴AA1=，

∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=。

如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点，

依题意，得，

，

 （Ⅰ）易得，

于是，

所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为。

（Ⅱ）易知，

设平面AA1C1的法向量，

则，即，

不妨令，可得，

同样地，设平面A1B1C1的法向量，

则，即，

不妨令，可得，

于是，

从而，

所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为。

（Ⅲ）由N为棱B1C1的中点，得，

设M（a，b，0），则，

由MN⊥平面A1B1C1，

得，

即，

解得，故，

因此，

所以线段BM的长为。

解：（1）分别取AB，AC的中点F，H，连接PH，HF，HE，EF由于E、F分别是BC、AB的中点，故EF是△ABC的中位线，则有EF∥AC，故∠PEF是异面直线PE与AC所成的角或补角在△PEF中，PE=PF=，EF=故cos∠PEF=

（2）由于PA=PC，H是AC的中点，有PH⊥AC又由面PAC⊥面ABC,面PAC ∩ 面ABC=AC有PH⊥面ABC故∠PBH是直线PB与平面ABC所成的角在△PBH中，PH=，PH=∴tan∠PBH==故sin∠PBH=

（3）∵VP﹣ABC=VC﹣PAB=S△ABC*PH= **1*1*=又由三角形PAB的面积S△PAB=∴点C到平面PAB的距离h==

（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．

则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）

∴=(2，-1，0)，=(0，2，-1)

∴COS＜＜，＞＞==-                …（5分）

所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…（6分）

（2）设平面ABC的法向量为=(x，y，z) 则

⊥知•=2x-z=0

⊥知•=2y-z=0取=(1，1，2)，…（8分）

则sin＜，＞=…（10分）

故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…（12分）

取AD，BC的中点M，N，连接PM，MN，

∵PA=PD，

∴PM⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面AC

∴PM⊥平面AC

又∵MN⊂平面AC

∴PM⊥MN，

又∵MN⊥AD

故以M点为原点建立如图所示的坐标系，由AB=2，PA=PD=3得：

M（0，0，0），A（0，1，0），B（2，1，0），C（2，-1，0），D（0，-1，0），P（0，0，2）

（1）直线PB的方向向量为=（2，1，2），直线DC的方向向量为=（2，0，0）

设直线PB与直线DC所成的角为θ，则

cosθ===

所以，异面直线DC与PB所成的角的余弦值为

（2）由PM⊥平面AC，故平面AC的一个法向量为=（0，0，2），直线PB的方向向量为=（2，1，2），

设直线PB和平面ABCD所成角为α

则sinα===

所以，直线PB和平面ABCD所成角的正弦值为

（3）设平面PAB的一个法向量为=（x，y，1）则

⊥，⊥，且=（2，0，0），=（2，1，2），

故，即

解得：x=0，y=2

∴=（0，2，1）

设二面角P-AB-C的平面角为β，

则cosβ==

故二面角P-AB-C的余弦值为

解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．

则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）

∴，

∴COS＜＞==﹣                

所以异面直线BE与AC所成角的余弦为

（2）设平面ABC的法向量为 则

知

知取，

则，

故BE和平面ABC的所成角的正弦值为