热门试卷

解：（1）取CD中点O，连接OB，OM，

则OB⊥CD，OM⊥CD

又平面MCD⊥平面BCD，

则MO⊥平面BCD，

所以MO∥AB，A，B，O，M共面

延长AM，BO相交于E，

则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，

，MO∥AB，

则

所以，

故∠AEB=45°。

（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，

由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形

作BF⊥EC于F，连接AF，则AF⊥EC，

∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为θ，

因为∠BCE=120°，

所以∠BCF=60°

所以，所求二面角的正弦值为。

解：（1）取DC的中点O，

由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC

又∵平面PDC⊥底面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD于O

连结OA，则OA是PA在底面上的射影

∴∠PAO就是PA与底面所成角

∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，

从而求得OA=OP=

∴∠PAO=45°

∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°。

（2）由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，

DC=2，DO=1，有OA⊥DC

建立空间直角坐标系如图，则

，

由M为PB中点

∴

∴

∴

∴PA⊥DM，PA⊥DC

∴PA⊥平面DMC；

（3）

令平面BMC的法向量，

则

从而x+z=0； ……①

从而  ②

由①、②，取x=-1，则

∴可取

由（2）知平面CDM的法向量可取，

∴

∴所求二面角的余弦值为-。

解：（1）45°；

（2）。

①∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1；

∴CD⊥平面ADD1A1；

又E、F、G分别CC1、DD1、AA1中点．

∴EFCDAB⇒E，F，A，B四点共面，且EF⊥平面ADD1A1，

所以EF⊥A1F    （1）；

而GF=AA1，所以三角形AA1F为直角三角形且A1F⊥AF    （2）

且AF∩EF=F⇒A1F⊥面AEF；

又由上得E，F，A，B四点共面

∴A1F⊥面BEF；

②∵GA=AA1，C1E=CC1；

∴GAC1E，所以四边形GAEC1为平行四边形，⇒GC1∥AE

又因为GC1不在平面BEF内，又由上得E，F，A，B四点共面

而AE在平面BEF内；

∴GC1∥面BEF；

③∵A1F⊥面BEF

∴∠A1BF即为直线A1B与面BEF所成的角，

在直角三角形A1BF中

A1B==，A1F==，

∴sin∠A1BF===⇒∠A1BF=arcsin．

即直线A1B与面BEF所成的角为arcsin．

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD，

又∵ABCD为正方形，

∴BD⊥AC，

∵PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，

∴BD⊥平面PAC

∵PC⊂平面PAC

∴BD⊥PC；

（2）设AC∩BD=O，连接OP，则

∵底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，

∴BO⊥AC，BO⊥PA

∵AC∩PA=A

∴BO⊥平面PAC，

∴∠BPO是BP与平面PAC所成角，

∵PA=AB=2

∴PB=2，OB=

∴sin∠BPO=

∴∠BPO=30°

即BP与平面PAC所成角是30°．

解：（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质，

知，

又DE平面A1B1C1，

所以DE⊥AA1，

而DE⊥AE，AA1∩AE=A，

所以DE⊥平面ACC1A1，

又DE平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1。

（Ⅱ）如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，

由正三棱柱的性质及D是A1B的中点，

知A1B⊥C1D，A1B⊥DF，

又C1D∩DF=D，

所以A1B⊥平面C1DF，

而AB∥A1B，

所以AB⊥平面C1DF，

又AB平面ABC，

故平面ABC1⊥平面C1DF。

过点D作DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1，

连接AH，则∠HAD是AD和平面ABC1所成的角，

由已知AB=AA1，

不妨设，

则AB=2，，

，

，

所以，

即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为

（Ⅰ）解：在四棱锥P-ABCD中，

因PA⊥底面ABCD，平面ABCD，

故PA⊥AB，

又AB⊥AD，PA∩AD=A，

从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，

从而∠APB为PB和平面PAD所成的角，

在中，AB=PA，故∠APB=45°，

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．

（Ⅱ）证明：在四棱锥P-ABCD中，

因PA⊥底面ABCD，平面ABCD，

故CD⊥PA，

由条件CD⊥PC，PA∩AC=A，

∴CD⊥面PAC，

又面PAC，

∴AE⊥CD，

由，∠ABC=60°，可得AC=PA，

∵E是PC的中点，

∴AE⊥PC，

∴PC∩CD=C，

综上得AE⊥平面PCD．

（Ⅲ）解：过点E作EM⊥PD，垂足为M，连结AM，

由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，

AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，

因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角，

由已知，可得∠CAD=30°，设AC=a，可得

，

，

∴，

则，

在中，sin∠AME=，

所以二面角A-PD-C的大小是。

解：（1）取AD中点F，连接EF、BF，则EF//PA，

由侧棱PA⊥底面ABCD，

∴EF⊥底面ABCD，

则∠EBF为BE与平面ABCD所成角，

∴在△EBF中，EF=1，BF=，tan∠EBF= ，

即直线BE与平面ABCD所成角的正切值为。

（2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则，

连PF，则在Rt△ADF中，，，

设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，

∵DF⊥AC，DF⊥PA，

∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC，

∴点N到AB的距离为，点N到AP的距离为。

解：（1）在Rt△BAD中，，

∴，

而PD垂直底面ABCD，

，

，

在△PAB中，，

即△PAB为以∠PAB为直角的直角三角形，

设点D到面PAB的距离为H，

由，有，

即，；

（2），∴，

而，即，

∴，∴GF⊥BC，∴GF⊥EG，

∴△EFG是直角三角形；

（3）时，，，

即，

∴△EFG的面积。