热门试卷

解：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，

由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD，

因为SA=SB，所以AO=BO，

又，

故△ABC为等腰直角三角形，AO⊥BO，

由三垂线定理，得SA⊥BC。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，

由，

得SO=1，，

△SAB的面积，

连结DB，得△DAB的面积，

设D到平面SAB的距离为h，

由于，得，

解得，

设SD与平面SAB所成角为α，则，

所以，直线SD与平面SBC所成的角为。

（1）解：在图1中，∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，

∴，，∠DAC=60°

∵AD=CD，

∴△DAC为等边三角形．

∴AD=CD=AC=2．

在图2中， ∵点E为点P在平面ABC上的正投影， ∴PE⊥平面ABC．

∵BC平面ABC， ∴PE⊥BC．

∵∠CBA=90°， ∴BC⊥AB．

∵PE∩AB=E，PE平面PAB，AB平面PAB，

∴BC⊥平面PAB．

∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．

在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，

∴ ． ∵0°＜∠CPB＜90°， ∴∠CPB=30°．

∴直线PC与平面PAB所成的角为30°．

（2）解：取AC的中点F，连接PF，EF．

∵PA=PC， ∴PF⊥AC．

∵PE⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴PE⊥AC．

∵PF∩PE=P，PF平面PEF，PE平面PEF，

∴AC⊥平面PEF．

∵EF平面PEF，

∴EF⊥AC．

∴∠PFE为二面角P﹣AC﹣B的平面角．

在Rt△EFA中，，

∴EF=AFtan30°=，．

在Rt△PFA中，．

在Rt△PEF中，．

∴二面角P﹣AC﹣B的大小的余弦值为.

                             图1                                                            图2

（Ⅰ）解：过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H，

连结AH，并延长交BC于G，连结EG，

于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角，

∵∠A1AB=∠A1AC，

∴AG为∠BAC的平分线，

又∵AB=AC，

∴AG⊥BC，且G为BC的中点，

因此，由三垂线定理，A1A⊥BC，

∵A1A∥B1B，且EG∥B1B，EG⊥BC，

于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，

即∠AGE=120°，

由于四边形A1AGE为平行四边形，

得∠A1AG=60°，

所以，A1A与底面ABC所成的角为60°；

（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，

则点P为EG的中点，连结PF，

在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，

故A1E∥FP，

而FP平面B1FC，A1E平面B1FC，

所以A1E∥平面B1FC。

（Ⅲ）解：连结A1C，

在△A1AC和△A1AB中，

由于AC=AB，∠A1AC=∠A1AB，A1A=A1A，

则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B，

由已知得A1A=A1B=A1C=a，

又∵A1H⊥平面ABC，

∴H为△ABC的外心，

设所求球的球心为O，则O∈A1H，

且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A，

在Rt△A1FO中，，

故所求球的半径，

球的体积。

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则相关各点的坐标为A1（2，0，0），B1（1，，），

P（1，，z），M，C(0，0，2)，A（2，0，2），由A1P⊥B1M知=0 ，

∴（-1，，z）·即点P的坐标为P（1，，），

设平面APC的法向量为n=（x，y，z），

由

取z= -1，则有n=（0，-，-1），方向指向平面APC的左下方，

设直线A1P与平面APC所成角为α，则sinα=；

（2），设A1到平面PAC的距离为d，则

(Ⅰ)解：如图，取CD的中点G，连接MG，NG，

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG=，

因为平面ABCD⊥平面DCEF，

所以MC⊥平面DCEF，

可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角，

因为MN=，

所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值．

(Ⅱ)证明：假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，

且平面MBEN与平面DCEF交于EN，

由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF，

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，

而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB∥EN，

又AB∥CD∥EF，

所以EN∥EF，

这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．

所以ME与BN不共面，它们是异面直线．

（1）⇒PA⊥BC

⇒BC⊥平面PAC

（2）建立空间直角坐标系如图，各点坐标分别为：

P（0，0，1），B（0，1，0），C(，，0)D(0，，)，E(，，)

∴=(0，，)，=(，，)，

由DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角．∴cos＜，＞==，

故所求二面角的余弦值为

（3）设D点的y轴坐标为a，DE⊥AE，DE⊥PE，当A-DE-P为直二面角时，PE⊥AE=(a，a，1-a)，=(a，a，-a)，得•=a2+a2-a+a2=0⇒a=

∴E(，，)，所以符合题意的E存在．

解：设，

(1)如图，过M作MN⊥AC于N，则MN∥PA，

∵PA⊥平面ABCD，

∴MN⊥平面ABCD，

则∠MAN为直线AM与平面ABCD所成的角，

∵CM=2MP，CN=2NA，

易知，∴，

又，

∴，

在Rt△AMN中，求得，

所以，直线AM与平面ABCD所成角的正切值为2．

(2)过A作AE⊥PD于E，

∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

∵AE平面PAD，

∴CD⊥AE，∴AE⊥平面PCD，

过A作AF⊥PC于F，连接EF，则∠AFE为二面角A-PC-D的平面角，

易求得，

在Rt△AEF中，求得，

∴，

所以，所求二面角的余弦值为。

（1）证明：∵△ABC为直角三角形，AB=BC，

∴AB⊥BC，

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，

∵PB平面PAB，

∴BC⊥PB．

（2）解：作AC中点D，连接BD，PD，

∵AB=BC，∴BD⊥AC，

∵PA⊥平面ABC，

∴BD平面ABC，

∴BD⊥PA，

∵PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC，

∴∠BPD为PB与平面PAC所成的角，

记∠BPD=θ，

令AB=1，得PA=2，BC=1，

∴PB=，BD=，

∴，

∴．

（3）解：作BE⊥PC，交PC于点E，连接DE，

由（2）知∠BED为二面角A﹣PC﹣B的平面角，

∴PC=，BE=，∴sin∠BED==，

∴cos∠BED=．

解：（1）取CE中点N，连接MN，BN

则MN∥DE∥AB且MN=DE=AB

∴四边形ABNM为平行四边形

∴AM∥BN

∴AM∥平面BCE。

（2）取AD中点H，连接BH

∵是正三角形，

∴CH⊥AD

又∵平面ACD，

∴CH⊥AB

∴CH⊥平面ABED

∴∠CBH为直线与平面所成的角

设AB=a，则AC=AD=2a ，

∴BH=a，BC=a

cos∠CBH=。